24 I'll. SKOl.KM. M.-N. Kl. 



o {(,) $ + t) + /- o-{\ + (f) + /■ ^- o , 



d;i im Mcnlul <' (1 + ()) + /" (lie Zalil 1 iiiul also jede Zaiil in o \ork(imnit. 



I lii rtliiii-h ist folg-ciulcr Satz bewiesen : 



Sat/ 27. Jif/tf /\ii/i^, (/rr tins (■iiiciii in i^ ciitlialtrinii /\ii/i; </iirc/i 

 .Idjiiiiktioii finer Zahl entsteht, i///s/c/i/ ainli durch .Idjiinktioii ciiirr Zahl l) 

 zu einem so/ehe// Ri/ii^- o , wobei li a/s Idealhriieh in o liarstellhar ist. 



Kiatt ilieses Satzi's kann inan sich ohni' Sehatli'n (larauf hesclii;"mken 

 nur die Ailjunktion scilehcr Zahlen /ii ciiuin Rins^e «M ^ 4,') /u hiliaehten, 

 die als Idealbrüche in o ilarstellbar siiul. 



Satz 28. Entsteht der Rin^^ o (i'f^ ,{}.,■■• )a/is einem in i^- entlialtenen 

 Rini^ o durch Adjuiihtion der Zahlen i'l^ , />., • • • , -a'elche alle als Idealhriiche 

 in o darstellbar sind, so ist o {î)^, //., • • • ) .;,'■ o- 



Beweis: jede Zahl 7 des Ringes (H''^, /^ .>,••• ) lätk sich natürlich als 



ein iiiidii/ihler Idealhriich — schreiben. Ks s(Men (/ untl /; die den Idealen 



a und b entsprechenden Kleale in i,'-. Dann ist a -\- b = o und folglich 



a + b = i^-. AulkM-deni ist i^T -^ rr • 1st b o, so ist b —- i»-, und uiii- 



h 



gekehrt. 1 heraus folgt, dal"? j nur dann zu i,>- gehört, wenn sie eine Zahl 



in o ist ; d. h. es ist o yi)^ , (V._, , • • • ) — i*" = " ■ 



Bekanntlich gelten nun t"ür ilie Ideale eines Ringes o auch die gewöhn- 

 lichen Teilbarkeitsgesetze. Infolgedessen ist ohne weiteres klar, dafi die in § 2 

 und ^ 3 entivichelten Sätze auch dann i^iihii^' bleiben müssen, aunn das 

 Zeiche// j^ /ibe/all d/irch o ersetzt aurd, d. h. ii'c//// //la// statt i^ ei//e// beliebiij;e// 

 in g e//tl/alte//e/i Ri//g o z/igru//de Ici^t, aw/// ///a// bloß Zahle// *V adj/n/i^ie/i, 

 die als Idealbrüche i// o darstellbar si//d. 



Ich will ein paar Folgerungen hieraus besonders erwähnen : 



Es /////ß i//////er ///öglich sei// zu ei//e/i/ beliebii^e// Ri//i^ o { ^ .;,'■) ei//e 

 solche Zahl (V z/i adj/zz/giere//, daß i/// Ringe o (//) die Zahl der Idealklasse// 

 -~ 1 icird, icobei z/zgleich o [0] g — o ist. Dann gelten also für die Zahlen 

 in o{i>) tlie gewcihnlichen l\Mlbarkeitsgesetze ; autaerdeni ist jede Zahl in o [i)) 

 (relativ /um Ringe o{i'}\) einer Zahl in o assoziiert. 



ll'e//// der i// g e//thalte//e Ri//g o beliebig gegebe// ist, so gibt es /licht- 

 abzählbar /ii/ciidlich viele ///axi///ale o ////ter de//jei/igen, h'clche kei//e gebrochene 

 ratio//ale Zahl e//thalte// ii//d a/ißerde//i //lit g ebe// //iir die Zahle// i// o 

 ge//iei// habe//. 



Einige Bemerkungen über die Ringe / (i)) , J (0^, iK,) usw. 



Bisher sind die betrachteten Ringe immer so gebildet gedacht worden, 

 dafs man alle Polynome gewisser Zahlen O^ , />.. ■ • • zusaniniengefafst hat, 

 dessen Koefh/ienten /u einem Ring o, der c\n //-gliedriger Modul war. 



