1923- No. 21. rNTEGRITÄTSHERKICIlE IN .M.GEHR.AISCHEN Z.AHLKÖRr'EKN. 25 



gehörten. Statt dessen kann man die Koeffizienten in einem Ringe wählen, 

 der nicht //-gliedrig ist. Das einfachste ist rlann die Koeffizienten ganz 

 rational zu wählen. Unter einem Ringe / (//,, tK,, • • 1 verstehe ich den 

 Inbegriff aller Zahlen, die als Polynome von />i , />., , • • • mit ganzen rationalen 

 Koeffizienten darstellbar sind. Ich betrachte dabei nur den Fall, da />, , IKj,,-" 

 primitive Zahlen des gegebenen ZahlkArpers sind. Ist /> eine primitive Zahl 

 in einem Körper //"" Grades, so ist schon der Ring /(/>) «in //-gliedriger 

 Modul. Sind />i , />., , • • • algebraisch ganze Zahlen, so ist der Ring hi\ , />., , • • •) 

 ein in if enthaltener Ring i>. 



Wir haben gesehen (Satz 9), daß g(>^i, i'K,, ■ • ■ ) imm«r in der Form 

 ^{i'h darstellbar ist, und, falls l^y,i^„,--- Idealbrüche in einem in ^' ent- 

 haltenen Ring n sind, auch o (i'>j, »7., , • • •) immer in der Form o (»7) dar- 

 stellbar (Seite 24); die Zahl der Größen »7 endlich vorausgesetzt. I)ie 

 Adjunktion endlich vieler Zahlen »7 läßt sich also durch die Adjunktion 

 einer einzigen Zahl ersetzen. Fs kann dann in dieser Verbindung inter- 

 essant sein zu bemerken, daß schon ein Ring I{i\, i'K) nicht allgemein in 

 der Form I \lh darstrll/xir ist. 



Betrachtet man den einfachsten Fall, nämlich den absoluten Rationali- 

 tätsbereich, so ist freilich klar, daf3 /(//j, »7.,, • • ) mit endlich vielen »7 immer 

 in der Form /(»7) darstellbar ist. Dies folgt in der Tat sofort aus Satz 9, 

 weil hier I \li\, if.., ■ ■ ■) ^ gh')^ , >Ky, ■ ■ ■) ist. 



Betrachtet man einen quadratischen Körper, so ist leicht zu sehen, 

 daß /(«7j, »72) immer in der Form /(j7) darstellbar ist, wenn i\ und j?^ 

 ganze Zahlen sind. Denn jeder Ring o, der in g enthalten ist, ist hier ein 

 zweigliedriger Modul derart, da& eine Basis der F'omi (I, »7) existiert; also 

 ist = /(»7), »7 auch eine ganze Zahl. Falls »7i und »7., aber nicht (beide) 

 ganze Zahlen sind, ist der Ring /(»7^, »7.^1 nicht mehr in g enthalten und 

 ist überhaupt kein endlicher Modul mehr. Falls jedoch keine gebrochene 

 rationale Zahl in /(»?i, »7.2) vorkommt, läfst sich noch in folgender Weise 

 zeigen, daß ein solches »7 gefunden werden kann, daß /(»7j, »7.,) ~ /(»7) 

 wird. Man setze 



Q ^1 "*" ^\ V"' f. (^y + ''''•. V'" ,, " + v\m 



17. = , «/., — = , i> — . 



c. ' c, w 



Hier sind dann a^, h^, c^, a.^ , h^ , c^ gegebene ganze rationale Zahlen, a^ , A, , Ci 

 ohne gemeinsamen Teiler, ebenso a^,h^,c^, und «^^ — m/)^^ durch c^ und 

 a.2^ — m 6.2^ durch Cy teilbar. Dann müssen h^ und Ci, ebenso A.^ und c, , 

 teilerfremd sein ; denn ein gemeinsamer Primfaktor von b^ und fj müßte 

 auch in a^ aufgehen. Fs seien / jnd /' die größten gemeinsamen Teiler 

 der Zahlen /»i und />._, bezw. c^ und c, , und ich setze 



^1 — ^h'/' f^i -'-' ^i /' <^\ <^i'/ ' <^2 = f^i / • 



