1923. No. 21. INTEGRITÄTSBEREICHE IX ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 27 



In liß^.dj kommen die Zahlen — — vmd — — vor. 



'"1 ''■: 



Also gehört zum Ringe auch immer die Zahl — — '■ ^^ bei 



beliebigen ganzen rationalen .v und y. Wegen der gemachten \'oraus- 

 setzung können .v und y so gewählt werden, dafs ia^- — /;/ ä^-| .v — q v = 1 



wird. Also kommen im Ringe die Zahlen — , — und also auch ~ r, , 



c\ Co i\ r., 



vor. Weiter müssen folglich ^^ ' '" und ^- '" Zahlen des Ringes sein. Es 



Cl c, 



sei / der größte gemeinsame Teiler der Zahlen b^ c, und öo q . Dann ent- 

 hält der Ring auch die Zahl , und ich setze /] in = r,, . Man hat nun 



liâ^,, ßj -— liT^, tJ; denn es ist û^ = t^ -{oj^ r., + t., ■ ^t^ ■ und ebenso 

 âo = ^i • ( ^-2 ^i ~ ^-2 ' ~^~^ ) • ^'^h setze jetzt 



a ^ /] IN 



17 = = (a — To I T, . 



q Co 



wobei a so bestimmt sein soll, data a- — /;//- zu q Co teilerfremd ist. 



Erstens ist dann r., = q c, i^ — a; so dafà t., in /UVI vorkommt. Weiter 



/-2 2 



folgt aus der Gleichung q c-, î)- — 2 a d = — ■ . dafe in I\d) jede 



Zahl der Form — '■ — ^ '' , x und \' ganz rational, vorkommen 



i\ Co 



mufa, also speziell auch die Zahl = r^ . Folglich ist li^^, (^J = 



Cj c, 



= /(r^. Toi = /d^l. 



Es ist aber sogar möglich zu beweisen, daß /;/ ciiutii beliebigen qua- 

 dratischen Körper jeder Ring I{â^,î)J in der Form I id) dargestellt 

 iv erden kann. 



Kommt im Ringe Ud,, i%) . i\ = "' ~ ^''^"' , ^o = "' ^ ^'' ^ "' . keine 



gebrochene rationale Zahl vor, so ist dies schon bewiesen. Gibt es aber 

 gebrochene rationale Zahlen darin, so kommen in deren Nennern gewisse 

 Primzahlen vor; diese seien pi,- ' 'pn, indem sie in endlicher Anzahl vor- 

 handen sind, da sie ja alle in c^ c, aufgehen müssen. Ich setze .t = /»i/o • • -Pn, 

 Außerdem seien d^ und d.^ die maximalen Teiler von Cj bezw. c, . die zu 

 .T teilerfremd sind. Dann ist 



