28 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



a^ + b^] III a„ + b.^ \iu .... ^ 



wenn r^ = , t., = — — ^ ; denn einerseits kommen , r.^ und 



1 ^'-2 



Tg offenbar im Ringe I{&-y,do) vor, und andererseits kommt im Ringe 



/1 \ . A 



-^ ~ ' ^i ' ^-2 1 jeder Brucli — vor, worin B ein beliebiges Produkt von Potenzen 



der Primzahlen p ist, und deshalb auch d\ und âo . Im Ringe /(t^, t.,) kann 

 keine gebrochene rationale Zahl auftreten ; denn sonst müßte mindestens 

 ein Primfaktor von d-^^ d^ auch im Nenner einer gebrochenen Zahl in K&j^, d^) 

 vorkommen, während doch d^ do zu jt teilerfremd ist. Nach dem oben be- 

 wiesenen läfat sich aber eine solche Zahl t = ; finden, dafs 



d 



I\t^, tJ = Ht) 



ist, und aus dem Beweise geht hervor, daß d zu ,t teilerfremd ist. 



Wir können aufaerdem t so gewählt denken, daß die ganze Zahl 



a- — /// o- 

 '^ ^ ~^ zu .-T teilerfremd wird. Denn ist -t = rr^ jt„ , ~i^ Teiler von // , 



-T.i prim zu // , so setze man 



, , , a + b jiu 



a ^ a + d rco a , t = ; = t + .t., a , 



d 



so daß // = = // + 2« .T._, a + d tt^- a , und bestimme die ganze 



Zahl a so, daß sowohl a wie 2a + d tt.^h zu tj^ teilerfremd werden; dies 

 ist bekanntlich möglich, weil d :t., zu n^ prim ist. Dann wird // prim zu xc. 

 und /(t) = /(t'), so daß r durch / ersetzt werden kann. 



Ich setze deshalb voraus, daß schon // prim zu ti ist. Dann setze ich 



n T a + by m 

 if =- = • , 



71 71 d 



woraus 



jidO- — lad = —- . 



TT 



Es gibt zwei ganze rationale Zahlen x und j', so daß // x + Jiy = 1 ist. 

 Hieraus 



, n-7 /^ -v + .T V 1 



X [2a ê — nd d-) + y =- ^ = - . 



n n 



