1923. No. 21. IXTEGRITÄTSBEREICHE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 29 



Da aufàerdem r = n i) ist, folgt /(~. ^" I = /(«?! und also auch 



Gehen wir aber zu den kubischen Körpern über, so läftt sich leicht 

 nachweisen, daß >iic/if jeder Ring / ( «?i , »?., I /;/ der Form /{d\ darstellbar 

 ist, selbst dann nicht wenn d.^^ und »V., ganze Zahlen sind. Wir können 



z. B. denjenigen kubischen Körper betrachten, der aus \ P Q^ erzeugt wird, 

 wobei P und Q natürliche, teilertVemde und quadratfreie Zahlen sind. Ist 

 aufaerdem P Q^ entweder = ± 2 oder ± 4 (mod. 9), so bilden die 3 Zahlen 



3 3 



1 , ) P Q^ , ] P- Q eine Basis des Ringes g der ganzen Zahlen des Körpers '. 



3 3 



Wir können die beiden Ringe l{]PQ^) und I\]P- Q) betrachten und 



untersuchen, ob eine Zahl d derart existiert, dafe l{] P Q^, ] P- Q) = g — I{&). 

 Dann mufs auch â eine ganze Zahl sein. Da aufaerdem immer /ItI = /It — /) 

 ist, wenn / s^anz rational ist, genügt es 



& ^ x] P Q^ — y] P- Q l.v und y ganz rationall 

 zu setzen. Nun müssen Gleichungen der Form 



]P(^ = a ^ ß& + yd^, ]P-Q = a + ß' d ^ ■/ d^ 

 (a, ji, ;/, a, ß', y ganz rational). 



stattfinden. Durch Einsetzung des Ausdrucks für d und d- = P \- ] P Q- — 



3 



— Q .x^] P- Q — 2 xy P Q bekommt man die Gleichungen 



a - 2PQ xy ;• = . a - 2 P Q xy ;•' = , 



ß X -r P\-^ ;• = 1 . ß' .V - Pr 7' = , 



ßy -f Qx-y = Q, ß'y - Q .x~ ;•' --= 1 . 



Q .X-' — Px-^ ' 



Q .X-' — Py^ ' 



Es sei 3 der größte gemeinsame Teiler der Zahlen .v und y , x = .x\ c , 

 Vy z. Dann mufs z sowohl in .Vj wie y^ aufgehen, d. h., da .Vj und v^ 



' J. So-MMER, Vorlesungen über Zahlentheorie, S. 261. 



