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teilerfremd sind, s ^ I . Also sind .v und v teilerfremd. Da Q x^ — Py^ 

 sowohl in .v wie v aufgeht, so mué die Gleichung 



Q x^ — Py^ = ± 1 



erfüllt sein. Man erkennt, daß die Lösbarkeit dieser Gleichung die notwendige 

 und hinreichende Bedingung dafür ist, daß eine solche Zahl & gefunden 

 werden kann, daß g = 1(d) ist. 



Nun ist es aber leicht P und Q so zu wählen, dafa diese Gleichung nicht 

 lösbar wird ; man braucht ja nur eine der Zahlen als kubischen Nichtrest 

 nach der anderen Zahl als Modul zu wählen. Ein einfaches Beispiel ist 

 p = 11^ Q =. 13. Denn es ist 11 • 13- = 2 ■ 4- = 5 (mod. 9) und 11"* = 2^=3 



(mod. 13(. //// Körper Ä'(Vll ■ 13-) giùt es also keine solche Zahl &, daß 



der Ring der ganzen Zahlen überhaupt in der Form I ( ü) darstellbar wäre. 



Dafs Ringe 1(d) vorhanden sind, welche sowohl 1(0-^) w\e K&^) ^"t- 



halten, ist ganz trivial; im vorliegenden Falle 0^ = ] P Q- , d.2 = ]' P" Q, 



3_ 



braucht man nur ê — l'_ zu setzen. 

 ^ Q 



Man kann aber fragen, ob vielleicht auch in jedem Falle Ringe I (&) 

 vorhanden sind, welche ^enthalten, während sie keine gebrochenen rationalen 

 Zahlen enthalten. Da die allgemeine Untersuchung weitläufig erscheint, 

 begnüge ich mich hier damit zu zeigen, dafa dies jedenfalls auch in dem 

 Falle eintreten kann, da g selbst nicht in der Form 1(d) darstellbar ist. 



Wenn P und Q die frühere Bedeutung haben, so kann es eintreten, 

 daf3 die Gleichung 



Q .\-^ — Py^ = 2 



lösbar ist, während die Gleichung Q x^ — Py^ = 1 nicht lösbar ist. Z. B. 

 verhält sich die Sache so, wenn P— II, Q= 13. Ich setze P und Q 

 ungerade voraus; dann müssen .v und v auch ungerade sein. Setzt man 

 dann, indem .v und v der Gleichung Q x^ — Py^ = 2 genügen sollen, 



^ x]PQ2+y]P'- Q 



so enthält der Ring Kß) sowohl ] P Q- wie ] P^ Q . Denn es gelten die 

 Gleichungen 



2^ ,^ _ Q,2 , = (py-Q.vM ^ ^ _ ^j^ 



3 



2xd^ — Py^& = ]P^ Q 



