1923- N'^. '^r. INTEGRITÄTSBEREICHE IN ALGEBRAISCHEN ZAHI.KÖRF'ERN. 3I 



Aufeerdem kommt in I \ih keine gebrochene rationale Zahl vor. Die Grund- 

 zahl des Körpers ist nämlich hier — 21 P- Q^ , worin 2 nicht aufgeht. 



Weiter ist die Norm der Zahl .v \ P Q- - y \ P- Q gleich 



PQ\.x-^Q + y^P); 



also ist die Norm eine gerade Zahl. Kraft eines früheren Satzes (Satz 12'| 

 enthält also nicht g{d), der hier = I{d) ist, gebrochene rationale Zahlen. 

 Wenn man nun Körper höheren Grades in Betracht zieht, werden die 

 Verhältnisse noch komplizierter und die Untersuchung weit schwieriger; /'// 

 Jedem Falle shlien diese Fragen aber )iiit der Lösung geivisser itnbestiinnilen 

 Gleicliiingen in Ziisaninienliang. 



In einem Körper //""" Grades läßt sich offenbar jeder in g enthaltene 

 Ring in der Form I [d^, • ■ ■ , dn-\) schreiben. In welcher Ausdehnung die 

 Zahl n — 1 der erzei'genden »? durch eine kleinere ersetzt werden kann, 

 ist wohl ziemlich schwer allgemein zu erledigen. Indessen gibt es gewifs 

 umfassende Fälle, da eine kleinere Zahl erzeugender & genügt. Ich erwähne 

 hier ein Beispiel: Es sei G der Ring der ganzen Zahlen eines Körpers A', 

 g der entsprechende Ring eines Körpers k, K Oberkörper relativ zu k, 

 k vom Grade n^ , K vom Grade «^ «., ; weiter nehmen wir an, dafe die ganzen 

 Zahlen 1 , »\ , • • • , jV^, - i eine Relativbasis des Körpers K in bezug auf k 

 bilden. Dann ist G = g^i\, • ' ■ , ''^n, - !>• Aufaerdem gibt es in k n^ — I 

 Zahlen î\' • • • »?'n, - i , so dafe g — H&i , • • • , i}'„^ _ i). F"olglich ist 

 G = /(/>/ , • • ■ , ^^'^^ - 1 . '?i . • • • , *^n, - il- Hier genügen, jedenfalls für G 

 selbst, schon n^ + w., — 2 erzeugende Zahlen &. Dasselbe wird aber für 

 jeden Ring O in AT gelten, der eine Relativbasis vom Grade //., in bezug 

 auf o hat, wobei o der gemeinsame Bestandteil des Ringes und des 

 Unterkörpers k ist. 



Auch in anderen Beziehungen verhalten sich die Ringe /(»Vi ver- 

 wickelter als die Ringe git^i oder o (/>). Es seien z. B. in einem quadratischen 



,... ,, 'h - f>V \ >" ,, (?o ^ l>., ] III , , , 7 , 



Korper »/^ = , */., ~- , a^- — /// n^^- und a.,- — /;/ n.,- 



zu c teilerfremd ; ich setze dabei noch voraus, daß b^ und />., zu c teiler- 

 fremd sind. Nach Satz 4 ist dann immer ^(»?i) = ^(»^.»l- Damit aber 

 I{&^) = /l»?.,! sein soll, ist notwendig und hinreichend, dafe ^i = ± 6., ist. 



. 2 /2 



Erstens gehört nämlich — sowohl zu /l»7,» wie /l»V.,l (da — — und 



c c 



a.^ - /// h.^ ^._ ^.__ ^__ _^^ ^ ___^ . ,_,. ^ . ^ /, a . _ r(^>l )»' 



/(»?..) 



diesem Ringe bezw. gehören), und folglich ist /(//J = li— 1, 



/l-= 1. Ist also b^ — + b^, so mufs /(»Vjl ^ I\ti.,) sein. Um- 



