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gekehrt ist jede Zahl in / (ê^) der Form ;; , wobei A und B 



Polynome in a^^, b-^, in und c sind; aufeerdem ist b.^ als Faktor in B enthalten, 



B = B, b,. boil nun «/., = sem, so mui3 />., = sem, woraus, 



da b^ und c teilerfremd sind, folgt, dafa b.^ in /;., aufgehen mufs. Soll 

 üj^ = einer Zahl in /(»^.j) sein, folgt ebenso, dafe b.-, in b^ aufgehen mufa. 

 Also folgt öj^ = ± ho aus der Annahme lid^) = /(jV.,). 



Weiter will ich eine eindeutige Darstellungsweise der Zahlen eines 

 Ringes I (ü) erwähnen. Wenn \) eine ganze algebraische Zahl ist, welche 

 der irreduziblen Gleichung /(ù) ^ ü" + a^ &" + • • • + a« = genügt, 

 so kann bekanntlich jede Zahl des Ringes I{&) in der Form .v^ ê + 



+ .Vo ^ "+••• + -Vn mit ganzen rationalen .v , und zwar nur auf eine 

 Weise, geschrieben werden. Es liegt nahe eine entsprechende Darstellung 

 der Zahlen des Ringes 1(d) auch in dem Falle zu suchen, da ä nicht ganz 

 ist. Es ist sofort klar, dafa auch dann jede Zahl des Ringes in der Form 

 }\ ê" + • • • + rn mit rationalen r eindeutig darstellbar ist ; die Zahlen r 

 sind aber dann gewöhnlich gebrochen, und aufaerdem gar nicht beliebige 

 gebrochene rationale Zahlen. Ausdrücke dieser Art will ich im folgenden 

 für den Spezialfall eines quadratischen Körpers näher betrachten. Es gibt 

 aber, auch wenn ß gebrochen ist, eine eindeutige Darstellung der Zahlen 

 in I {&) als Polynome von ff mit ganzen rationalen Koeffizienten, die ich 

 jetzt angeben will. 



Hilfssatz : Befriedigt ß die irreduzible Gleichung 



/(ß) = a,, ,r + a,ß"~' + •■■ + an = 0, 



worin die a keinen gemeinsamen Teiler haben, und ist 



so gelten, wenn man der formalen Einfachheit halber an-^\ = f7„-u2 = • • • = 

 setzt, Gleichungen der Form 



Cq = Gq U^ , ^1 = <7o ?/., + f7^ U^ , r, = Oq ?/3 + a^ it.-, + <7., ?/^ , , 



worin alle // ganz und rational sind und alle //r = , für welche r^ in - ;/ 4- 1 

 ist. Also gilt die Gleichung F iß) ^ fiß) G \ß) ,^ wenn 



G{ß)= ^Urß"""'"'- 



' Die Hauptsache ist hier, daß Giß) auch ganze Koefn/.ienten hat und nicht blofä rationale; 

 denn das letztere ist ja sofort ersichtlich. 



