1923- No. 21. INTEGRITÄTSBEREICHE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 33 



Beweis: Ist m <C >i , müssen alle c = sein, und die I>t-hauptung ist 

 oftenbar richtig. Es sei ni ~ ;/ und -^ der Bruch — in irreduzibler Gestalt. 

 Dann bekommt man 



n 

 y^ iOr Cq — Cr rty'l d"~' = , 



r - I 



woraus für alle r von bis // 



Or C^^ = Cr ^o' , 



so daf3 ÛQ in Or (r = , l , ■ • • , Ji\ aufgehen muf3. Da aber die a keinen 

 gemeinsamen Teiler haben, folgt ^J = 1 . Folglich <v = Or c^ (r = 0, !,•••, n). 

 Die Behauptung ist also auch in diesem Falle richtig. 



Es sei jetzt /;/ beliebig und der Satz bewiesen für alle kleinere Werte 



von ;;/. Hat ' die frühere Bedeutung, so folgt 



Nach der gemachten Annahme bestehen Gleichunsren der Form 



^1 ^0 ^ ^'i ^0 = ^0 "i ' ' •-' ^'o ~~ ^-2 <^ = ^'o "•-• -^ ^1 "i ' 



Hieraus folgt, dafs a^^ in allen a aufgehen mufs, und also wie früher 

 rt„ =^ 1 . Hieraus wieder 



. <"u = ^0 '"'(1 • ^1 = S "i ^ ^1 ^o' < ^-2 = ^0 "•> -^ <'i "i ~ ''-2 <"u • 



Der Satz ist hierdurch bewiesen. 



Satz 29. Es befriedige li die irreduzihle Gleichung 



/iti) = a^h" ^ aj)"'' + ■ ■ ■ + an = Q, 



li'orin die Koeffizienteji a ganze rationale Zahlen ohne gemeinsamen Teiler 

 sind. Es sei a^^O. Dann /sA nnd zwar nur auf eine Weise, jede Zahl t 

 des Ringes /(/il /;/ der Eorni 



t = .V„ l9'" + _x\ i)"'~ + • • • + .Vm - n '^" + Xm - „-f i »^" + • • • + .V„ 



darstellbar, wobei die Koeffizienten x ganze rationale Zahlen sind und 

 Vy , • • • , Xm - n olle ^ und < a^ . 



Vid.-Selsk^Skriftcr. 1. -M.-N. Kl. 1923. No. 21. 3 



