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Beweis: Erstens ist zu zeigen, dafe jede Zahl / in /(*!/) in der an- 

 gegebenen Weise dargestellt werden kann. Eine solche Zahl / ist jedenfalls 

 von der Form 



.Vo ''/" + Vx ''>'" ■-' + •••+ .)',„ , 



die y alle ganz rational. Ist /// <C )i ist schon / der angegebenen Form. 

 Ist dagegen iii^^ii, kann man Vo durch ^7^, dividieren. 



.Vü = ^„ So + x^, , ^ -v„ < a^, , 



und statt a^y c^ ê den Ausdruck — c^ \a^ />'" -\- • ■ ■ + On d'" " ") einführen. 

 Hierdurch erhält man 



/ = .lo >^ + .Vi '7 + ■ • • + y m , 



wo .V(j und alle v' ganz rational sind. Ist ;/; — 1 <C ^i , so ist dies eine Dar- 

 stellung der verlangten Art. Ist aber noch ;// — 1 ^ // , so kann man v^' 

 durch <7y dividieren usw. Nach einer endlichen Zahl solcher Schritte be- 

 kommt man zuletzt die verlangte Darstellung. 



Zweitens ist zu zeigen, daß die Darstellung eindeutig ist. Angenommen, 

 es sei eine Zahl / auf zwei Weisen ausgedrückt, so erhielt man eine 

 Gleichung der F'orm 



c/„ //" + • • • + (i,n -^-^ /^ 'V'" + • • • + /»m , (^0 > ''■'o . 



und daraus 



Co i) + q i/ -h • • • + c„, = , 



wenn dr — /^r = O ('' = , !,•••, ///) gesetzt wird. Außerdem wäre <C Cq 

 und, wenn ;;? ^ ;/ , auch r^, <r r/^ . Nach dem Hilfssatze kann aber eine 

 solche Gleichung nicht bestehen. 



Man kann natürlich versuchen ähnliche Ausdrücke der Zahlen der 

 mehrfach erzeugten Ringe I{ß^,d.2), I^i^i, ''Ä^ , '^g) usw. zu finden, worauf 

 ich aber hier nicht näher eingehen will. 



Zuletzt betrachte ich eine andere Darstellungsweise der Zahlen eines 

 Ringes Kâ) in einem quadratischen Körper. Es sei /// eine quadratfreie 

 ganze rationale Zahl, n , b, c ganze rationale Zahlen, a und ô m zu c teiler- 

 fremd und 



_ a + Ô ]ni q2 o ^i ^ "^ ~ ^" ^^ - n 



o = ; c n^ — 2 <7 */ H U . 



c c 



Ich setze a^ — m li^ durch c teilbar und c ungerade voraus; nach Satz 12' 

 nebst Anmerkung endiält dann Uli) keine gebrochene rationale Zahl, was 



