1923- N'^- 2 1. INTF.GRITÄTSBERF.ICHK IN AI.CIF.MRAISCIIEN ZAHl.KÜRPERN. 35 



- /- 



übrigens bald in anderer Art bewiesen werden soll. Ich setze //; 



t" 



// und c können teilerfremd vorausgesetzt werden, obwohl dies für das 

 folgende nicht nötig ist. 



Haben nätnlicli // und c einen gemeinsamen Teiler, so kann man statt iV eine 



andere Zahl tV - einführen, während /oVl = /(iV'l ist, und //' n\ c teilerfremd, 



c 



II' = . Dies kann z. B. so geschehen : Es sei Ci das Produkt aller Primzahl- 



c 



faktoren in c, die nicht in /; vorkommen, so dafj also ci und li teilerfremd sind, während 



jede Primzahl, welche in c aufgeht, entweder in Ci oder // aufgehen muß. Dann setze man 



L' L '1' f"' '' y '" , 

 a =■ a ~ c Cl , o — o ^ i/= = w + ci . 



c 

 Folglich HO) = liO't. Weiter 



// = /1 -f 2(J Cl ^ c Cl- , 



woraus sofort ersichtlich ist, dafä //' und c teilerfremd sein müssen. 



Satz 30. Flir jeden Wert von n und helicbii^e ganze rationale .v gilt 

 die Gleichung 



An i'f" ^ ■ ■ ■ .\\ ''> = ('^irh-^'" -^ • ■ • ^ 'h -^"i I '''' ^~^\~^^2-^'" + • ■ • - <h •^■■j) . 



zi'eim die Za/ilen a durch die rekurrente Gleichung 



an = 2a • a„ - i — h c • Un - 2 < fi'o ^^ . ^i "^ 1 



definiert sind. 



Beweis: Für n = 2 erhält man 



Unter Voraussetzung der Gültigkeit der Formel für // bekommt man 



für n -r 1 



^U> ■ + • • • .x\ n = (-;;— f x„a-, + • • • + a^.wA if- - - l-p— ^.v„^, + • • • -f r/^ .Y3I if + .\\ 1} 



/2 n • û„ — h c ■ an ^\ 2a • an 1 he- Un - 2 , 2a a^ \ 



= -. -Vn-, -r -— 1 x„ + • • • -r — .V., -r .\\ >f - 



h l an 



.v»_i + • • • + 



c \c 



f7, .v., j 



-^.V„^, -^ ^:;— f .V„ + •••-!- -.V., 4- a, X,j à - -j^— f .V„4-l + • • • + ^^ A., 



Der Satz ist hierdurch bewiesen. 



