36 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Hillssatz: Werdtn dit- Zahkn Ii^, Ih,, //.. , • • • so bestimmt, dafs h^ = 

 und für jedes // ^ 1 



c hn hn 1 + 2 c? //„ + // = (mod. c ) , 

 so gelten die Kongruenzen 



c /tn^ + 2a /in + // = (mod. c" ), //„ = //„ i (mod. c "). 



Beweis: Die Kongruenzen sind augenscheinlich richtig für // = 1 bezw. 

 /1 = 2. Ich setze die Gültigkeit der Kongruenz //„ = //„ i (mod c ) für 

 ein gewisses ii voraus. Dann ist c /in = c /in - i (und c ) und folglich 



c /hr + 2(1 /in + // = f //„ /in - 1 + 2f? //„ + // = (mod. c" " ') 



Aus di'r Kongruenz c /hr + 2a /in + // = (mod. r" ~ ) in Verbindung 

 mit c/in-r\/in + 2 c? //„ _ i + /i = (iiiod. c") folgt 



{/ln + \ — /ln){c/ln + 2f?) = (Uiod. C ), 



woraus, da c /in + 2 a zu c teilerfremd ist, 



//„ + 1 = //„ (mod. c ) . 



Hierdin-ch ist der Ililfssatz bewiesen. 



Satz 31. Es i^iù/ so/c/ir ganze ratioiia/c Za/i/cti l>n , bn~\ ' ' , 

 ivc/c/ir von .v„ , .v„ - 1 , • • • iiiia/)/iäiigig sind, daß 



- ^ fe .V„ + • • • + ^, -V, j = /In (^.V„ 4- ■ • • + .., -V.,) + /,/'" .-„ + • • • + /.;"• .V, , 



ivcnii die Za/i/ni /i ii.'ic im lli/fssatzc angegeben l>estiniint iverden. 



Beweis: Die Richtigkeit für ;/ = 1 ist ganz trivial. P'ür n = 2 ist 



/z„ = (mod. e\ und folglich 



2 a 



/i., \ — x., + ay x\ + -a^ X.. = /^2 [ — .V.3 + xA + -.v., -= einer ganzen Zahl. 



Ich setze die Richtigkeit für // voraus. Da nach dem Hilfssatze 

 /;^^ = /;,,, (mod. t" " ') ist, braucht offenbar nur gezeigt zu werden, daß 



-^ + //„ + ,^^^^^ eine ganze Zahl ist, d. h. dafa 

 c c" ' c" 



/in -^ 1 rtn + 1 + /i (hl = (mod. 6-"l . 



