ØYSTEIN ORE. M.-N. Kl. 



Wegen der Wichtigkeit dieser Sätze mag es von Interesse sein, hier 

 eine neue Herleitung derselben zu geben, besonders weil diese mir einfacher 

 als die Dedekind'sche scheint und weil aus der Beweismethode auch einige 

 andere wichtige Sätze über algebraischen Zahlen abgeleitet werden können. 



§ 1. 



Erstens sollen keine Voraussetzungen über die Art der Primzahl p 

 gemacht werden, und die folgenden Untersuchungen bleiben daher auch 

 richtig, wenn p ein Indexteiler von d ist. 



Es sei allgemein 



fix) = cp, {xf Ç,, (.r)'^ ■■■cps (xf^ (mod. p) , ( 1 ) 



wo der Grad von ç>, (.v) gleich /;/,• ist, also 



s 



S^ a Uli = 11 . (2) 



1 = 1 



Man kann nun in diesem allgemeinen Falle verschiedene Hilfsätze über 

 die Primidealteiler von p aufstellen. Nach (1) ist 



(p^ idf f/, iëf ■■■(fs Wf' = (mod. p) , (3) 



und hier können zwei Zahlen 7 ,• {&) und rpj [d) keinen gemeinsamen Ideal- 

 teiler haben, der auch in p aufgeht. Denn man kann immer solche Poly- 

 nome ' A ix) und B ix) bestimmen, daf? 



A ix) ■ (pi ix) + B ix) • (pj ix) = 1 (mod. />), 



und für .v = d sieht man dann leicht die Richtigkeit der Behauptung ein. 

 Es ist also bewiesen : 



Hilfssatz 1 . Man hat für p die Zerlegung 



p = tii a.2 • • • as , 



wo 



ci/^ {p, f/ i (&)'), 



inid diese Ideale a,- sind alle zu einander relativ prini. 



Weiter soll nun der folgende Satz bewiesen werden : 



' Unter Polynom soll hier sowie im Folgenden immer eine ganze rationale Funktion mit 

 ganzen rationalzahligen Koeffizienten v^erstanden werden. 



