1923. No. 22. DIE df.dekind'schen Sätze. 



Hilfssatz 2. Isf p ''"' Prii)iidcal, das in a = (/>.9 (»V)') aufgeht, so ist 

 der Grad f von p durch dm (îrad in vo)i ff \x) teilbar. 



Alle ganze Zahlen B des Körpers genügen nämlich der Kongruenz 



e^^— 6> = 0(mod. p), (4) 



und weiter ist das Polynom 



x^ — -v (mod. p) 



kongruent dem Produkt aller Primfunktionen F [x) (mod./)), deren Grade 

 Teiler von / sind. Da nun nach (4j 



û''^ — d = (mod. p), 

 gibt es also eine solche Primfunktion Fix), dafs 



F{ff\=0 (mod. p). (5.) 



Dann ist aber 



F{x) = q{x), (6) 



denn wäre dies nicht der Fall, könnte man, da Fix) und 7 (.v) verschiedene 

 Primfunktionen sind, die Polynome A ix) und B ix) so bestimmen, dafs 



A (x) • F ix) + B ix) • 7 (.vi = 1 (mod. />) , 

 und folglich 



A iß) F iß) = 1 (mod. p), 



wäre, was nach (5) unmöglich ist. Aus (6) folgt aber dann, daf3 auch der 

 Grad /// von cf ix) ein Teiler von / ist, zv. z. h. iv. 



Ich gehe jetzt zu einer wichtigen Aufgabe über, nämlich nachzuweisen, 

 daß keines der Ideale a, das Einheitsideal sein kann. Dabei brauche ich 

 den leicht zu beweisenden Satz': 



Hilfssatz 3. Es sei o) eine ganze Zahl des Körpers, -welche der Gleichimg 



x" + b.x" -' + ■■■ + h„=^0 



genügt. Dann -a'ird die iiotivcndige und hinreichende Bedingung dafür, daß 

 o) durch alle verschiedenen Priniidealteiler von p teilbar ist, durch 



bi =/>., = •••= bn = (mod. p). 

 ausgedrückt. 



' Den Beweis dieses Satzes habe ich ausführlich in meiner Arbeit: „Zur Theorie der 

 algebraischen Zahikörper", Acta Mathematica 44, gegeben und halte es darum für über- 

 llüssig, den einfachen Beweis hier zu wiederholen. 



