ØYSTEIN ORE. M.-N. Kl. 



Es sei nun Pix) ein beliebiges Polynom, und es soll untersucht werden, 

 unter welcher Bedingung P{#) durch alle verschiedenen Primidealteiler von 

 p teilbar ist. Dies folgt nun leicht aus dem Hilfssatze 3. Genügt nämlich 

 P{&) der Gleichung 



P (ê)" + c, P{âf -' + ... + c„ = O , (7) 



so müssen nach dem Hilfssatze 3 alle Koeffizienten c,- durch p teilbar sein. 

 Die Gleichung {7) besagt nun, daft eine Identität 



Pix)" + C^P (.V)" ^' + •■• + Cn --=/(.v)^ (.v) 



besteht, wo g ix) ein Poh'nom sein mufa. Daraus folgt aber 

 p [xf = gix)- /i ix) (mod. p) , 



und wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung (mod./)), daft Pix) durch alle 

 verschiedenen Primfunktionen (mod. p) von /ix) teilbar sein muft, also 



P (.vi = (modd. p , ff^ ix) (p., ix) • • • ç', (.v)) . 



Daraus folgt z. B. der Satz: 



Hilfssatz 4. Die ganze ZaJil PiO) kann mir dann durch die Primzahl p 

 teilbar sein, ohne daß alle Koeffizienten in Pix) durch p teilbar sind, ivenn 



Pix) = (mod. p, r/ , (.v) • • • (,s ix)) . 



Man zeigt nun leicht, daft keines der Ideale Cl,- das Einheitsideal sein 

 kann. Wäre nämlich dies z. B. mit dem Ideale a,- der Fall, so würde schon 

 die Zahl 



CfuAt))q^id)---qsiO) 



durch alle Primideale von p teilbar sein, was doch nach dem eben Be- 

 wiesenen nicht möglich sein kann. 



Es gibt also immer mindestens ein Primideal p/, das in a,- aufgeht. 

 Wenn eine Zahl P{t)) durch P/ teilbar sein soll, muft man 



P(.v) = (mod. /), v,(.vO 



haben. Denn sonst könnte man die Pol3'nome A \x) und B ix) derart be- 

 stimmen, daft 



P ix) • A ix) + ffi ix) B (.vi = 1 (mod. p) , 

 und folglich 



P id] Aid) = 1 (mod. p,l, 



was nicht möa:lich ist. 



