1923- No. 22. niE DEDEKINd'sCHEN SÄTZF. 



§ 2. 



Nach diesen allgemeinen Untersuchungen gehe ich jetzt zu dem Dede- 

 kind'schen Falle über und setze 



/(.v) = (p^ (xf ■ • • cf, {x(' + p-M (.V) , (8) 



wo M [x] (mod. />) nicht durch 7 , (.vi teilbar ist, -wenn ^,0> 1- 



Es gibt nun immer nach § 1 mindestens ein Primideal p,-, das in 

 ip , (fi (â)) aufgeht. Ich werde jetzt zeigen, dafs es unter diesen Voraus- 

 setzungen über y (.vi nur ein Primideal p, für jedes / gibt, bezeichne aber 

 vorläufig mit p,- ein beliebig herausgewähltes aus den Primidealteilern von 

 {p, (/ iià)) . Es wird weiter angenommen, daß p genau durch p, in der 

 Potenz f/i und 9/ {&) genau durch p,- in der Potenz ßi teilbar ist. 



Wenn nun erstens r,0> 1 ist, so wird die Zahl />• .^^/(«91 genau durch 



p,- ' teilbar, und folglich mufa man 



«, = Ci fii a > 1 (9) 



haben. Wenn dagegen r,- = 1 ist, besteht diese Gleichung (91 nicht mehr, 

 aber man kann doch tür alle / 



a, = d • y i { î 0) 



setzen, wo ;', ^ 1 eine ganze rationale Zahl bezeichnet. 



Weiter kann man, wenn ß den Grad von p, bedeutet, nach dem 

 Hilfssatze 2 



/■ = /;/, • di 



setzen, wo auch r), ^ 1 eine ganze rationale Zahl bezeichnet. 



Das Ideal p,- ' wird nun nach (101 sicher ein Teiler von p, und daher 

 ist auch das Ideal 



/>' = p/'p/---p^ 

 ein Teiler von p . Hier ist aber 



s 



Np'=pTt^'''' 

 und da /,^ /;/,- ist, wird nach (21 



