ØYSTEIN ORE. M.-N. Kl. 



S^-'^S 



;;;,• c i = it , 



und daraus folgt natürlich, weil p' ein Teiler von p ist, 



Np' = p\ 

 Man hat also 



/- = P/>.2" • • • P/^ (11) 



Weiter kann man nur 



s 



^fi ei = n 

 1=1 



haben, wenn ;//,• = /, und also N ißi = p '. Aus diesen Schlüssen folgt also 

 auch, dafà es nur ein Primideal P; für jedes / gibt, das in (pjq-^iiß)) auf- 

 geht. Wenn daher r,- = 1, kann man nach (11) P/ = (/>, ç/ (»?)) setzen. 

 Wenn c,- >■ 1 ist, wird nach (91 jii = 1 , und man hat auch in diesem Falle 

 V'i = (p, T'^^^) ' wodurch die Zerlegung von p vollstcändig bestimmt ist. 



§ 3. 



Es bleibt jetzt nur übrig, das Kriterium über Indexteiler herzuleiten. 

 Die Primzahl p ist bekanntlich dann und nur dann ein Teiler des Index, 

 wenn es eine ganze Zahl 



P{d} = b^ + b,& + ■■• + b„-Mf~' 



gibt, welche durch p teilbar ist, ohne dafe alle Koeffizienten hi durch p 

 teilbar sind. Wenn aber ein Polynom P [d] durch p teilbar sein soll^ 

 braucht man nach § 1 nur zu untersuchen, wann ein Produkt 



<P,{&f\r,{df'---cpAd)"^ (12) 



durch p teilbar ist, indem ein jedes Polynom in d , das durch p teilbar ist, 

 einem solchen Produkt multipliziert mit einer zu p relativ primen Zahl ^ {0) , 

 kongruent sein muß. 



Wenn aber f(x] die Bedingungen des § 2 erfüllt, kann (12) nicht 

 durch p teilbar sein, aufter wenn 



a/^0(/= 1 ,2, •• -s). (13) 



Für eine Primfunktion, wofür ci = 1 ist, wird dies nach Hilfssatz 4 

 selbstverständlich. Wenn aber r,- >> 1 ist, hat man nach (9) />,■ = I, (piid) 



