1923- ^''^- 22. niE dedekind'schen Sätze. 9 



daher genau durch p, in der ersten Potenz teilbar. Wenn also (121 durch 



p,'' teilbar sein soll, mufs die Bedingung (131 erfüllt sein. Ein Polynom P{ü) 

 kann daher nicht durch /> teilbar sein, aufeer wenn 



P (.vl = (mod. /),/(.vl), 



und dies zeigt, daft p kein Indexteiler ist. 



Wenn aber Afix) (mod./») durch die Primfunktion (jtix) teilbar ist und 

 f ,0> 1 . so kann man einfach zeigen, dals die Zahl 



9i i&f' ■ ■ • 9^,-1 {&)"•-' 7, (^r"'~' 9-,-fi (»9)''-^' • • • 9s i^f' (14) 



durch /> teilbar ist, und /> also in diesem Falle ein Indexteiler sein muß. 

 Dieser Beweis ist schon von Dedekind' geliefert worden, läßt sich 

 aber nach den früheren Bemerkungen folgendermafaer einfach führen: Die 

 Zahl (14) ist nach (3) durch alle Primidealpotenzteiler von /> teilbar, welche 

 zu 9 / iâ) relativ prim sind. Man braucht daher nur zu zeigen, dafa, wenn 

 p, ein Primideal ist, das in (p,ffi{â)) aufgeht, p, in (14) mindestens in 

 derselben Potenz wie in /» aufgeht, also mit den früheren Bezeichnungen 



id — \)ßi^ai. Nimmt man an. data M [d) genau durch p,- ' teilbar ist, 

 so folgt aus 



q\{Of' ■■•9si&P - p- M[m - 0. 



dafe Ci ßi = a,- + ;;/,-, und man hat also nur iiii^ßi zu beweisen. Wenn 

 hier erstens a,- ^ ßi ist, hat man 



;;/, — ßi = Uu — \) ßi — a, ^ ßi — a,- ^ , 



wodurch dieser Fall erledigt ist. Wenn dagegen a, >> ßi . hat man der 

 Annahme nach 



M (.vi = 9-, (.v) • M (-V) (mod. />) , 



und für .v = & folgt daraus ;//, ^ ßi wie gewünscht. 



§ 4. 



Die hier angegebene Beweismetode hat weiter den \'orteil, dafe man 

 auch unter allgemeineren Voraussetzungen, d. h. auch in gewissen Fällen, 

 wo p ein Indexteiler ist, die Primidealzerlegung von /> bestimmen kann. 



Es sei nämlich jetzt /(.v) von der Form 



/(.Y) = 7 1 (.V)" ■ • • 9 . (.v)''^ + / .1/ (.vi , « > 1 , (15) 



' Dedekind : Loc. cit. p. 17 — 19. 



