36 JOSE R. VILLALON 
veces la unidad, y llegamos así á un número abstracto; obsérvese 
que la unidad ha sido tomada arbitrariamente; así, por ejemplo, si 
cierto volumen de materia de densidad dada, sea una pulgada cú- 
bica de agua destilada, se tomara como la unidad de volumen, y su 
densidad como unidad de densidad; si pudiéramos entonces com- 
primir dos pulgadas cúbicas de agua destilada en una sola, su den- 
sidad sería dos, NUMERO ABSTRACTO que resulta de la comparación di- 
recta de una cantidad concreía dada con la unidad de la misma 
especie. 
En segundo lugar podemos apreciar y expresar la cantidad sin 
necesidad de introducir formal y rigurosamente la unidad, pues 
supongamos dos cantidades desiguales, y que una de ellas sea divi- 
sible en dos partes iguales y la otra en tres también iguales entre 
sí y á las en que se dividió la primera; aun cuando podemos expre- 
sar sus magnitudes con relación á la unidad, sin embargo, podemos 
omitir ésta y decir que la relación que existe entre esas dos 
cantidades es la de 2 es á 3; por ejemplo, si tenemos dos rectas que 
puedan dividirse en 3 y 7 partes, todas iguales respectivamente y 
entre sí, la relación entre esas dos rectas puede representarse nu- 
méricamente por la razón 3:7, y este modo de medir cantidades es 
independiente de la parte que se tome como unidad por cuanto si 
las anteriores líneas se hubiesen dividido en 6 y 14, ó en 12 y 28, 
18 y 42, 3n y 7n, partes iguales respectivamente, la unidad hubiera 
sido una fracción de la primera división, y sin embargo, la relación 
entre las dos líneas, es decir, sus magnitudes relativas, habrá per- 
manecido constante. 
Este modo de representación es igualmente aplicable á toda cla- 
se de cantidades, sean éstas áreas, pesos, tiempos, etc., todas las 
cuales pueden estar relacionadas entre sí de modo que puedan ser 
representadas por la razón 3:7. Claro es que sólo cantidades de la 
misma naturaleza pueden ser medidas por estos procedimientos, y 
por lo tanto, los números resultan de la comparación de cantidades 
HOMOGÉNEAS. El principio y modo de comparación deben ser deter- 
minados por la ciencia, en particular á la cual corresponden las 
cantidades comparadas. 
Por dichos procedimientos se abstraen las cantidades concretas 
y caen bajo el dominio de la ciencia del número que sólo trata de 
multiplicidades abstractas; los símbolos 2, 3, 4..., a, b, C,...X, y, Z 
sólo representan cantidades abstractas, y son las propiedades de los 
mismos que forman el objeto de la ciencia del número. Si á esta 
