INTRODUCCION AL ESTUDIO DEL CALCULO INFINITESIMAL 37 
relación Ó á este número abstracto se le añade el nombre de la uni- 
dad, se tiene la expresión de la magnitud; por ejemplo, la expre- 
sión de una longitud que contiene 4 veces un metro es 4 metros, y 
esta expresión se llama NÚMERO CONCRETO: así pues número concreto es 
la expresión de una magnitud concreta, mientras que la relación de 
esta magnitud á la unidad de la misma especie, como ya hemos 
visto, es un número abstracto. 
Estos dos modos de medir cantidades, y por lo tanto, de formar 
números, corresponden á los dos aspectos de las fracciones aritméti- 
cas; uno, aquel en que el denominador es la unidad y el numerador 
el número de veces que hay que tomarla; y el otro en que se consi- 
dera la fracción como la expresión de una relación ó razón. 
Jil distintivo característico del número abstracto es el que, des- 
pués de cualquiera operación, el resultado es otro número de la mis- 
ma clase que antes, así 2X3=6, 6 es un número de la misma clase 
que 26 3; esta observación es importante, porque si los símbolos 
representan cantidades concretas, los resultados no permanecerán 
de la misma especie; así en la operación análoga de la multiplica- 
ción geométrica, si 2 pulgadas lineales se multiplican por 3 pulga- 
das lineales, el resultado será 6 pulgadas cuadradas, y por consi- 
guiente, en el procedimiento hemos cambiado de la cantidad lineal 
á la superficial; y si multiplicamos ahora las 6 pulgadas cuadradas 
por 4 pulgadas lineales, el resultado será 24 pulgadas cúbicas, y 
vemos también que en el procedimiento hemos pasado de magnitud 
superficial á volumétrica ó sólida. El ejemplo.de la multiplicación 
geomética es el más favorable, pues en otras materias en que no 
pueda considerarse más que una sola dimensión, no podemos mul- 
tiplicar cantidades concretas, y sólo podremos dividirlas cnando 
sean homogéneas; es absurdo hablar de una hora multiplicada por 
una hora, Ó de una libra por otra libra, esto no tiene significado, 
pero sí podemos dividir dos libras por una libra, y el cociente es 2, 
un número abstracto, porque podemos multiplicar una unidad con- 
creta por un número abstracto. 
De todo lo expuesto hasta aquí, deducimos que el número ha 
servido no solamente para contar cantidades, sino que también se ha 
usado como signo representativo de la magnitud de las cantidades. 
Posteriormente á los dos conceptos formados del número, según 
dejamos indicado, se ha observado que una cantidad era susceptible 
sin cambiar su naturaleza, de ser examinada bajo distintos puntos 
de vista, de ser estudiada con relación á tal ó cual modo ue exis- 
