49 JOSÉ R. VILLALON 
realizar esa operación en su totalidad; estos son los valores extre- 
mos entre los cuales se encuentran comprendidas todas las opera- 
ciones ejecutables con los números. 
Antes de emplear esos dos símbolos 0 é w para ilustrar la rela- 
ción que existe entre las cantidades infinitas é infinitesimales, ex- 
plicaré someramente el concepto en que dichos símbolos se emplea- 
rán como los límites respectivos de los infinitesimales é infinitos. 
Si una expresión variable converge constantemente hacia otra 
cantidad fija, ésta se llama límite Ó valor límite de la primera. Si 
el valor de la expresión depende del de la variable que encierre, 
cuando el valor de esta variable se aproxima á O el límite hacia el 
cual la expresión converge se llama límite inferior; y cuando la va- 
riable se aproxima al valor vw la expresión converge hacia su lí- 
mite superior. La aproximación de la variable al valor 0 puede 
ser tal que sin llegar realmente á confundirse con él difiera sin em- 
bargo en una cantidad menor que cualquiera cantidad asignable por 
pequeña que ésta sea; en cuyo caso la expresión se aproximará in- 
cesantemente á su límite inferior sin llegar á confundirse con él; 
esta diferencia tan pequeña entre el valor de la expresión y el de 
su límite cuando la variable de que depende se aproxima indefini- 
damente á 0, diferencia que puede llegar á ser menor que cualquie- 
ra cantidad asignable por pequeña que sea, es el concepto y defini- 
ción de una diferencial basado en la teoría de los límites. 
Al ? 
ésta es una expresión varia- 
1+x; p 
ble y su valor depende del de x; para valores de x mayores que O 
la expresión es menor que 1, y á medida que x se aproxima á 0 
Sea la expresión algebráica 
menor es la diferencia entre y 1, y cuando x=0 la expresión 
l+x 
es igual á 1, éste es, pues, su límite inferior y 4 medida que x au- 
menta la expresión se hace cada vez menor y cuando x es mayor 
que cualquiera cantidad asignable por grande que ésta sea, la dife- 
: 1 ; É a 
rencia entre e y 0 es menor que cualquiera cantidad asignable 
x 
- , ci 1 
por pequeña que ésta sea, y en el límite cuando x=0w , 135 O, 
+ x 
éste es, pues, el límite superior de la expresión; del mismo modo 
cuando la diferencia entre x y 1 es infinitesimal, se aproxima 
1 
lx 
á infinito. En trigonometría el límite inferior de tan. x es 0 y á 
