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Röhren zu ermitteln. Durch Verbindung theoretischer Betrachtungen mit den Er- 

 gebnissen seiner Experimentaluntersnchnngen hat er sich vielfach bemüht, die 

 Formen der von ihm aufgestellten Gleichungen zu rechtfertigen. Dass er das 

 gesteckte Ziel, wie er selbst zu glauben scheint, wirklich erreicht habe, will ich 

 keineswegs behaupten. 



Ich wende mich nun zur Besprechung der neuesten Arbeit Ilagens*) in 

 welcher derselbe, wie bemerkt, seinerseits den Versuch gemacht hat, aus den 

 Messungen Darcy's die wahren Gesetze für die Bewegung des Wassers herzu- 

 leiten, da er die von diesem aufgestellten Formeln nnr als empirische Regeln 

 gelten lassen will. Er hat zunächst die Beobachtungen gesichtet, indem er aus 

 den 22 Reihen von Beobachtungen, welche Darcy angestellt hatte, 12 Reihen 

 auswählte, welche sich auf Röhren bezogen, bei denen er eine regelmässigere, 

 nahezu cylindrische Form voraussetzen zu können glaubte. Es sind dieses: ge- 

 zogene eiserne Röhren, Bleiröliren, gehrauchte und neue gusseiserne Röhren. 

 Die Durchmesser dersell)en sind in der Tabelle auf pag. 35 angegeben. 



Hagen hat es nicht für bedenklich gehalten die verschiedenen 

 Arten von Röhren gemeinschaftlich der Rechnung zu unterziehen. Er ist 

 nämlich der Ansicht, dass durch die Rauhigkeit der Wände nur die Dicke der 

 an ihnen haftenden und auch während der Strömung ruhenden Schicht, welche 

 bei Röhren mit glatten Wänden unendlich dünn ist, dem Grade der Rauhigkeit 

 entsprechend vergrössert werde. Ueber diese Schicht hinaus meint er sei ein 

 Eiiifluss der Wände auf die Bewegung des Wassers undenkbar *""), während Darcy 

 der Ansicht ist, (für welche er einen experimentiellen Beleg anführt) dass die an 

 Wänden haftende Wasserschicht zu dünn ist, um die Rauhigkeiten derselben ver- 

 schwinden zu lassen, so dass dieselben, in die bewegten Schichten hineinragend, 

 Wirbel verursachen***). 



Hagen hat nun zunächst die drei verschiedenen Ausdrücke, welche man bis- 

 her für die Abhängigkeit des Gefälles von der Geschwindigkeit aufgestellt hatte, 

 mit den Beobachtungen vergleichen, um zu prüfen, welchem derselben sie sich 

 am besten anschlössen. Diese Ausdrücke haben nach dem früheren die Form 



a) P = r c' ; b) P = rc + .sc2 ; c) P = s' c2 

 worin P das relative Gefälle, c die mittlere Geschwindigkeit, r, s, /, s', .c aber 

 Constanten bezeichnen, deren Werthe Hagen aus den 87 Beobachtungen, welche 

 die von ihm ausgewählten zwölf Beobachtnngsreihen umfasstcn, bestimmte. 

 Dabei führte er (wie es auch Darcy gethan hatte) die Rechnung so, dass die 



Summe der Quadrate der Fehler von (also der relativen Fehler) ein Mini- 

 mum wurde, weil sonst diejenigen Beobachtungen, bei denen die Geschwindigkeit 

 und das relative Gefälle geringer wai-, auf das Resultat fast keinen Einfluss gehabt 



haben würden. Er brachte daher die obigen Ausdrücke auf die Form: 



p r 1 p P 



A) _ = r'c ; B) i = ; + sc ; C) _ = sc 



c c c 



und bestimmte unter der angegebenen Bedingung die Werthe von r, .r; r, s; s' 



nach der Methode der kleinsten Quadr.ate. Er fand, dass sich die beiden besten 



*) H. III. Siehe Anhang No. 1. ♦♦) Vergl. H ID. pag. AI. ***) Vergl. D. pag. 347. 



