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Auf beiden Seiten der Stellen x = zi^ und x = ■/2^ tritt natürlich unter 

 allen Umständen eine erhebliche Abweichung der Kurve (14) von der Geraden (15) 

 ein; hier nimmt ." stets ab mit wachsendem T. Ist die Bedingung a) erfüllt 

 und verläuft die Kurve nicht in unmittelbarer Nähe der Asymptoten, so kann diese 

 Abnahme für den ganzen KiUT^enzweig zwischen den beiden vertikalen Asymptoten 

 anhalten, indem sich dieser Zweig kontinuierlich fallend von links oben nach rechts 

 unten erstreckt. 



Für jeden unserer drei Kurvenzüge ergibt sich eine andere Reihenentwicklung 

 nach Potenzen von T". Ist T<[/.i, so schreitet dieselbe fort nach steigenden 

 Potenzen: 



(16). . . ..«3 = « + ßx + x-{^ + _i) + a;B (-^ 4- .;^) + . . . , 



für T ^ '/.2 nach fallenden Potenzen von T^ = x: 



(16a) . ft'~ = a-yy.i^-öy.2^-\- (^i-y~d^ x - -^{yy-i* + <?>'-2*)— ^(//-i« + (5x2«)- . . . , 



endlich für /-i <^ T <^ v.i nach steigenden und fallenden Potenzen: 



(16b) ,,^ = «_,.,^ + (^_y)^_22^ + i4_i2^ + i^_Z^ + . . . 



\ J IM// X /A X" V.\ X^ 



Die ersten Glieder (16a) stimmen wieder mit der rechten Seite von (15) 

 überein; diese Gleichung stellt uns also die Kurve (14) angenähert dar, wenn man auf 

 das Verhalten von /<^ in der Nähe der kritischen Perioden kein Gewicht mehr legt, 

 und wenn sich die Kurve ihren Asymptoten hinreichend anschmiegt. Dadurch wird 

 es verständlich, dass eine Entwicklung von /«^ nach fallenden Potenzen von T- oder 

 von y? (wenn ^- die "Wellenlänge bedeutet), wie man sie nach Cauchy ansetzt, an- 

 nähernd richtige Resultate lieferte. In der Entwicklung nach fallenden Potenzen 

 von T^ fallt das Glied mit T^ ganz heraus, wenn die Asymptote parallel zur a'-Axe 

 ist, d. h. wenn ß ^= y -\- 8 oder 



(17) »M = ci (/.i^iJi -f y.22 Bi). 



"Wird (J = , so kommt man auf den vorhergehenden Fall zurück; die Kurve 

 dritter Ordnung zerfällt in die Asymptote x = y.z- und in eine Hyperbel; ebenso son- 

 dert sich die Asymptote x = xi^ ab, wenn y = o. 



3. Sind mehr als zwei kritische Perioden zu berücksichtigen, so wird unsere 

 Kurve von höherer Ordnung. "Wird die Ordnung mit n bezeichnet, so hat sie n — 1 

 vertikale und eine mehr horizontale Asymptote. Links von der ersten vertikalen 

 Asymptote und rechts von der letzten liegt je ein hyperbelartiger Ast; zwischen je 

 zwei solchen Asymptoten verläuft ein Kiirvenzweig von links oben nach rechts unten, 

 entweder andauernd fallend, oder nur bis zu einem Minimum fallend, dann bis zu 

 einem Maximum steigend (dabei etwa sich im Falle a) an die w= Asymptote an- 

 lehnend), und endlich wieder fallend und der nächsten Asymptote dabei dauernd 

 näher kommend. "Wie im vorigen Falle drei, so hat man jetzt n verschiedene Ent- 

 wicklungen nach Potenzen von T^, indem zwischen je zwei Asymptoten eine Reihe 

 der Form (16a) gültig ist. 



