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sei, so erhalten wir: 

 1 f 



12) 

 13) 



14) 



E 



"2 (1 + £ COS 0) 



«'" = -^+2<^4) 



6 = 



To 



— 1 



Die Geometrie liefert noch die Gleichung: 

 £sin® 



15 



tgß = 



16) 



(!'-.). = .a. 



-^) 



1 + £COSCD 



Somit haben wir für die vier unbekannten 

 Grössen i'o »'o « ® die genügende Anzahl 

 Gleichungen. Berechnen wir aus 13) und 

 aus 7) Vo^ To so giebt die Gleichsetzung 

 beider Ausdrücke die Relation: 



E 



Daraus folgt die wichtige Unterscheidung: 

 Der Planet beschreibt eine 

 Ellipse < 



Parabel je nachdem Rc^ = 2/" ist, 

 Hyperbel > 



(worin R auch einen beliebigen Eadius 

 vector und c die Geschwindigkeit in dem 

 betreffenden Punkte, deren Eichtung ausser 

 Betracht bleibt, bedeuten kann). 



Das Product der GU. 16) und 7) giebt: 



2f 

 R 



und hiermit wird nach 12): 



2f_ 2\ 1 + £ cos (P 

 E " VE "" )' f(l — £-) 

 so da SS wir wegen 15) zur Bestimmung von 

 £ und Ö) schliesslich die beiden Gleichungen: 

 £ sin CD ftg« 



(^-c^) Vo-ro^ = fMl-«-) 

 3rmit wi 

 ^ = (- 



E \: 



17a) . . 

 oder auch: 

 17b) . . 



— £- 



£ sin CD 



1 + £C0SÖ) 



1 + £ cos Ö) 



l-£^ 



£sin<D 



1 + £C0SCD 



2f— Ec- 

 = tga 



f 



2f— Ec^ 

 tg« 



erhalten. Ich will zwei Beispiele durch- 

 führen ß = imd u = 45°. 



Für « = folgt aus 15) £ = oder 

 Q) ^ 0; *) im ersten Falle wäre jedoch, wie 

 die erste 17b) zeigt, die Anfangsgeschwin- 

 digkeit nicht mehr willkürlich sondern 



*) Die Annahme 4" = 180" hat bei der obigen 

 Formulinmg in sofern keine Bedeutung, als der 

 Planet sich dann bei Beginn der Bahn (der Er- 

 klärung von <i> gemäss) in der Sonnenferne be- 

 finden und daher seine ganze Bahn innerhalb 

 der Sonne beschreiben müsste. Sehen wir aber 

 davon ab, betrachten vielmehr einen materiellen 

 Punkt als anziehendes Centrum, so ergeben 

 sich leicht bei der Annahme ■*> = tt die Resultate: 



4 = 1- 



Rc2 



f 



Il2c2 



2f-Rc2' 



Vo = 



Das erste derselben setzt voraus, dass 



2f— Rc2 

 Rc 



Ec2 



f 



< 1 



ist und die anderen ergeben sodann co <C i?, t'o > c, 



führen also nirgend auf einen Widerspruch. — 



Allgemein folgt aus 17 b): 



Ro3 



f 



1- f2 



«cos* = 



Rc2 



f 



= und setze 



(1-«)^ 

 2« ' 



werden dai-f, so 



Ist also wiederum Ec^ < /, so ist noth wendiger 

 Weise (da t positiv ist) * als stumpfer Winkel 

 anzunehmen. Ist im Besonderen 

 ich <P :^ n — *!, so ist: 



cos*i = —^^ = 1 + 



da aber cos *i höchstens = 1 

 folgt f = 1, d. h. die vom Planeten beschriebene 

 EUipse verwandelt sich in eine begrenzte gerade 

 Doppellinie, deren Endpimkte durch den Anfangs- 

 ort des Planeten und das Attractionscentrum be- 

 zeichnet werden. Die Geschwindigkeit, mit der 

 dasselbe erreicht wird, cq, wird unendlich gross, 

 welche physikalische Unmöglichkeit eben aus der 

 anderen phj'sikalischen Unmöglichkeit entspringt, 

 sich einen Punkt ohne Ausdehnung, aber mit Masse 

 begabt, zu denken. — Wir können nunmehr die 

 obige Zusammenstellung (nach Gl. 16)) noch folgen- 

 dermaassen ergänzen: Der Planet beschreibt 

 einen Kreis, wenn Rc- = f 



eine EUipse, wenn Rc^ ■< f 



eine ger. Doppellinie, wenn c = 

 ist. 



