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2. 



Ein fester Kern von der Masse M sei 

 (im Weltraum) von einer Flüssigkeit sehr 

 geringer Dichtigkeit umgeben. Er zieht 

 ihre Theüe nach dem Newton'schen Gesetz 

 an, während diese selbst auf einander keine 

 merkliche Anziehimg hervorbringen. Bei 

 welcher an ein EotationseUipsoid erinnernden 

 Figur findet, wenn der ganze Körper mit 

 gegebener constanter "Winkelgeschwindigkeit 

 nm seine Axe rotirt, Gleichgewicht statt? 



Rotire die Fig. 5, welche einen Ver- 

 ticalschnitt oder Axenschnitt durch den 

 Kern mit der umgebenden Flüssigkeit dar- 

 stellen soU um die Axe KJ, imd betrachten 

 wir ein im Punkte P der gesuchten Ober- 

 fläche befindliches Massentheilchen fi. Die 

 Resultante der darauf wirkenden KJräfte 

 muss zm- Oberfläche normal stehen. Diese 

 Kräfte sind aber, wenn ich den Mittelpimkt 

 des Kernes (0) zum Coordinaten-Urspnmg 

 nehme, seine Entfernung von P mit r, des 

 letzteren Coordinaten mit x,yaiiä die Winkel- 

 geschwindigkeit mit CO bezeichne: 



1) Die nach dem Mittelpunkt des Kerns 



gerichtete Anziehungskraft^ = — ^ = PC 



(in Fig. 5) mit den Componenten: 



PA = ^^;Y 



PB 



CM.uy 



2) Die senkrecht zur Rotationsaxe ge- 

 richtete Centrüugalkraft F = PD ^ fxxur'. 

 Nach dem Gesagten muss also sein: 



X — r _ _dy 

 Y " dx 



12) 



oder da sich /' forthebt: 



CMx 

 13) . . .J^ 



1.10- 



CMy 



dy 

 dx 



r = T/x^ + y^ 

 Die Gl. 13) muss mm integi-irt werden. 



Setzen wir z. A. die Constante: 



E . . 



CM 



14) 



imd führen Polarcoordinaten ein, wobei der 

 Winkel zwischen der verticalen Axe {OK) 

 und r {OP) Q sei, also: 



X = r sin 

 y = r cos © 

 werden, so nimmt die Gl. 13) die Form an 

 „, rtg0-r^ 



15) 



tg0(l- 



16) 



dr 



r+r'tg0 

 worin ?•' statt ^'^ geschrieben ist. 



Hieraus folgt nach leichten Umformimgen 



r'/l -m • o/-,\ _,SU10COS0 



^(^p - Esm^ 0^ = E ^3 . 



Durch die Substitutionen: 



-3 = ?j, sin20 = I 



wird die Gleichimg homogen, nämlich: 



und lässt sich daher nach den gewöhnlichen 

 Regeln integriren. Die Ausführung er- 

 giebt: 



(Eg+2^)^ _ 3 



r 



worin c die Integrationsconstante ist; oder 

 in r und und nach Ausziehimg der 

 Kubikwurzel: 



2 



Er2sin-04-- = c. 



oder auch: 



-|-Ex2 



*) 



17) 



18) 



Bezeichne ich nun den Werth von r für 



*) Der hydrodj-namische Satz, dass das Poten- 

 tial der -wirkenden Kräfte für alle Punkte der 

 Oberfläche constant sein muss, führt augenblicklich 

 zu derselben Gleichung. 



