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das Volumen als gegeben an iind gleich A, 

 so haben wir unter Voraussetzung der Fig. 5 

 die Gleichung: 



/ 2xdx7ry = — A 



deren linke Seite auf elliptische Integrale 

 führt. 



Aus den GU. 20) folgt nämlich: 



1 



2 2 12 



r- = X- + y- == 



/l E ,Y 



u-2 ^V 



oder wenn ich: 



^') ■ ■ (0 



2 Eb^ 



= u, — ^ = h 



setze, wobei /* ^ ™ vorausgesetzt wird : 



(ly 



(1 — hu)2 



-U 



28) 



y ^ l^l— u(l — hu)^ 

 b ~ 



1— hu 

 also wird nach 26): 



(?^ 



^^' 2« ~y 1 



Substituiren wir mm: 

 30) ... . 1— hu 



-hu 

 1 



V 



du 



= (ir 



so wird, für n = 0, v = 1; für « = 

 aber: v = -r. Bezeichnen wir nämlich für 







die Gl. 22) die kleinere positive "Wurzel 

 mit «1, die grössere positive mit «2, die 

 negative mit «3, so lautet sie allgemein: 



31) . 



woraus: 



h«' — «4-1 







1 — h«i- 



ßi 



also v 



«1 



folgt. Somit wird nun: 



27t 



b* /•'?/r-l T-i- dv 



h2-l' 



5 



V2 



-|/K^(W-,+i).^ 



32) 



oder wenn wir die "Werthe «i «2 «3 benutzen, 

 wie Gl. 31) zeigt: 



AE 



47r 





V — ßi)(v — «2)(v — «3)— 3. 33) 



Da «3 negativ und die Reihenfolge der 

 anderen Grössen: 



1 < V < «1 < «2 



ist, so ist die Grösse unter dem Wurzel- 

 zeichen positiv und auch das ganze Diffe- 

 rential positiv. Das Integral lässt sich 

 wie gesagt durch elliptische ausdrücken, wir 

 wollen aber zunächst sehen, in welcher Art 

 es sich mit h ändert. Letzteres steckt in 

 «1 «2 «3; bezeichnen wir also obiges Inte- 

 gral mit U: 



U = 



so ist 



dU ^ 

 dh " 



= ^/l/v(v- 



5U doi 



dm' dh 



ai)(v — a2)(v — «3) 



dv 



dV d«2 

 o'«2 ' dh 



5U da2 



o»«3 dh 



34) 



35) 



Es ist aber, wenn wir z. A. die positive 

 Grösse : 



l/v(v — «i)(v — a2)(v — «3) 



= V 



setzen: 



5U__J. /'V .5U__2 / ""vdv , 

 Sai 2t/ V — «1 '5a2 2t/ v — «2' 



5U ^ _1 PYd 



dttZ ~ 2e/ V — 



Vdv^ 

 03 



36) 



