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tind nach 31) allgemein: 



da 



dh ~ 1^ 



folglich wird: 



-3ha2 



ö oder ■■ 



« — 1 



h(l — 31i«2) 



dU 

 dh 



--Ä/"^^^| 



ßi — 1 



(v- 



«2 1 



-«i)(l — 31iai^) 



«3 1 



(v— a2)(l — 3ha22)^ (v — «3)(1 — 3hß3^)i 



Der Factor von Vdv ist aber eine symme- 

 trische Function der Wui'zeln «i «2 «s der 

 Gl. 31) und folglich durch die Coefficienten 

 derselben, also durch /* rational auszudrücken 

 möglich. Er ist, nachdem Zähler und Nenner 

 durch 4 — 27 Ji gehoben wurde: 



folglich wird: 



dU 1 /*"! 



V — 



dv. 



Nun ist v^- 



■^A-T- für V = 1 positiv imd 

 h h 



wird erst, wie 31) zeigt, für v = ai Null, 

 folglich ist für alle dazwischen liegenden 

 Werthe von v der Factor von V positiv 

 dU 



lind daher auch 



dh 



ZJwächst also mit h. 



= U 



Nach 33) imd 34) ist: 

 38) .... 1^ 



4:7V 



also nimmt, wenn A constant bleibt, 

 auch -B mit h zu; für den grösstmöglichen 



"Werth von h j— - 1 erhält also auch E und in 



Folge dessen (s. Gl. 14) die "Winkelgeschwin- 

 digkeit den bei gegebeiiemVolumen(yl) höchst 

 gestatteten Werth, der sich durch Ausfülirung 



3 



der Integration für «i 



«2 == o) "3 = — 3 



(s. S. 93, Fall 2) aus der Gleichung: 



4CM7r 



0^ = |/3-| + l,t 



3(2 — 1/3) 



ergiebt. Ist w kleiner als dieser "Werth, 

 so lässt sich aus der Gl. 38) U ermitteln 

 und hiemit (durch allmähliche Näherung) /(., 

 und zwar nur ein einziger Werth liiefür, 

 da Z7 gleichzeitig mit h wächst oder ab- 

 nimmt. Ist h gefunden, womit gleichzeitig 

 auch ai bekannt wird, so folgt aus 27) b 

 und somit auch a. Die den Verticalsclmitt 

 darstellende Curve lässt sich also construiren. 



In dem Grenzfalle 



(h = AoderEbB=|, 



^j entsteht (wie aus der folgenden An- 



a _ 3\ 

 b ~ 2 ' 



merkuug sub III zu ersehen) im Punkte H 

 eine Spitze, indem die beiden in ^ an die 

 Curventheile HK und HI gezogenen Tan- 

 genten mit der Abscissenaxe je einen "Winkel 

 von 60» bilden (s. Fig. 6d). — "Würde E noch 

 grösser werden, so gäbe es keine Gleichge- 

 wichtsfigur vorausgesetzter Art. ' 



Bei vorliegendem Problem gewinnt der 

 Vorgang der Trennung noch eine besondere, 

 beim vorangehenden vermisste, physikalische 

 Bedeutung. Fassen wir nämlich am 

 Aequator der rotirenden Flüssigkeit ein 

 einzelnes Massentheilchen ins Auge, so 

 üben Anziehungskraft und Centri- 

 fugalkraft darauf im Augenblicke der 

 Trennung die gleiche "Wirkung aus. 



Um dies zu beweisen, setzen wir in 

 21) fär E den "Werth aus 14) und für h 



2 

 den kritischen Werth -^a ein; dami wird sie 



CM 



1 , CM 

 — oder — ?r 

 a a" 



= aw- 



und diese Gleichung drückt die obige Be- 

 hauptung aus. Auch sieht man hier gleich- 

 sam, wie die Flüssigkeit durch die kreis- 

 förmige scharfe Kante des Rotationskörpers 

 (in der den halben Verticalsclmitt dar- 

 stellenden Fig. 6d durch den Pimkt H 

 bezeichnet) hinausquillt. 



Anmerkung. Die durch die obigen Glei- 

 chungen 19) oder 20) charakterisirte Curve ist auch 

 mathematisch von Interesse. 



