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Zunächst ei-kennt man aus den GH. 20), dass 

 die Curve aus vier symmetrisch gegen die Coordi- 

 natenaxen gelegenen TheUen besteht; ich werde 

 daher fortan nur den zwischen den positiven Halb- 

 axen befindlichen Theil betrachten. 



Die Gl. 13) oder die Differentiation von 20) 

 nach X gieht: 



a) 



dx y 



-1) 



Ich nehme jetzt E und b als gegeben an und unter- 

 scheide: 



I. Eb3> 1; n. 1 > Eb^ >^; IH. Eb^ 



27' 



'27' 



IV. Eb^ < 



27 



Diese vier Fälle sind f üi- 6 = 1 durch die Figuren 

 6 a) bis e) ihrem Wesen nach veranschaulicht, nämlich 



I durch 6 a) (E = 2), H durch 6 b) (j5 = ^'\ und 



6 c) (j; = "l), m durch 6ä)(E = ^), IV durch 



6e)(£ = |). 



Ad I. Für X = ist in diesem wie auch in 



den anderen Fällen ^ ^ 0; füi- x sehr klein = e 

 dx 



ist: 



b) . . 



dx 



(Eb^ — 1) 



also positiv und bleibt aiich dauernd positiv; die 

 Curve steigt also fortwährend, so dass niemals 

 y = werden kann. Der ßadiusvector r von der 



O I, 



Länge -^ ist eine Tangente an sie. Denn, wenn 



man mittelst Gl. 19) sin- nach r differentürt, so 

 findet man: 



^dsin-O 4 /3b \ 



das Maximum tritt also für r = -^ ein und hat 

 den Werth: 



d) . . 



. ..ß 8 1 



m 27 Eb^ 



Oj^ ist also reell, solange JEö' ^ ^ ist. 

 man ferner in 20) .t- = -^ oder: 



Setzt 



e) 



(ir- 



2 

 Eb^ 



so folgt }• = CO und daher auch ?/ = cc, des- 

 gleichen aus a): 



^'=00 f) 



dx 



Die Curve nähert sich also asymptotisch einer, in 



der Entfernung j = |/ . h von O , auf der 



Abscissenaxe errichteten Senkrechten. 



Ad n. Aus Gleichung b) folgt, dass die Curve 

 anfänglich sich senkt; für &^^ das reell vorhanden 

 ist, folgt aber aus a): 



dy 

 dx 



-Kl--) 



g) 



yV8 



also positiv; folglich muss die Curve vorher (für 

 ein kleineres .-r) eine horizontale Stelle gehabt 

 haben, die ich mit i, sowie die symmetrisch unter 

 der Abscissenaxe gelegene mit i', bezeichne, 

 während sie jetzt wieder im dauernden Ansteigen 

 begriffen ist und sich überhaupt weiter ebenso 

 verhält, wie im I. Falle. 



Ad m. Wenn Eh^ abnimmt, nähert sich 

 (s. Gl. d)) 0jj^ immer mehr — , die beiden Stellen i 



und U streben also immer näher zusammen, bis 



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sie sich in der Entfernung -^ von O (s. I.) auf 



der Abscissenaxe treffen. Aus a) folgt für diesen 



Fall: -~-^-x und daher wird: 

 ax 



dy 

 dx 



Er^-l-fSExr^f^-f^-^) 

 Vi- r dx/ 



dx 



also füi- X = r 



3i 



m 



4:Ea3 



= 0: 



1 = 3 



H) 



und daher der Winkel der Curve mit der Abscissen- 

 axe = + 60" oder besser 60» imd 120", so dass auf 

 der Abscissenaxe ein Kreuzungspunkt zweier sich 

 später (im Falle IV) trennender Curvenzweige ent- 

 steht. Die Asymptote hat jetzt von die Ent- 

 fernung -^ y/' 3 = ffi v^ 3. 



Ad IV. Ein Winkel 0j„ existirt nicht mehr, 

 vielmehr nimmt 0, wie die Gl. c) zeigt, dauernd 

 zu, wenn r von h an wächst. Bei diesem Wachs- 



thum wird -p auch einmal den kleineren der Gl. 22) 







