103 



und aus 70) nach geringen Umformungen: 

 dn 2sinu(sinu — ucosu) 



du 



sm" »'1 



73) 



= 2^ 



2(^V(l_ucotu). 

 \sm>'i/ 



Nim folgt zunächst für sehr kleine "Werthe 

 von H und also auch von n durch Ent- 

 wickelimg der Gl. 70): 



3 "^' = 15^^' 



daher: 



74) 



75) 



n = 



\ 



V 



5 

 U3 



76) 



dA 

 du 



6 



'1 2 



3U3^ 



A beginnt also mit u ^Q mit demWerthe 0, 

 nimmt dann aber sehr rasch zu. Sollte 

 mm diese Zimahme einmal aufhören imd A 

 für ein gewisses u ein Max. erreichen, so 

 müsste für diesen "Werth der durch 72) ge- 

 gebene Ditferentialquotient verschwinden 

 und gleich darauf (d. h. bei wachsendem u) 

 negativ werden. Ich werde zeigen, dass 

 dies nicht stattfinden kann. Sei der Werth 

 von u fiir den das Max. von A eintreten 

 sollte ?<,„; dann gelten folgende einfache 

 Betrachtungen. 



1. In -T- wächst der zweite Factor 

 auf der rechten Seite von 73) 1 — iccotu 

 von bis 1, wenn n von bis — wächst; 

 würde mm A von u = «„j an abnehmen, 

 so würde der reciproke "Werth davon, also 



auch der andere Factor in 73): 1^ 1 



zuzunehmen beginnen und ebenso -r- min- 

 ^ du 



destens von tt,^ an zxmehmen. 



2. Es ist allgemein a/ß, also auch il kleiner 

 als 1, daher nach einander: 



»'i<Cu, sin(ii — »'i)>0, sinucosn^cosusinvi 



folglich müsste für den Maximalwerth von A 

 wie 72) zeigt, jedenfalls 



sein. 



3. Es ist 



d /cosvA 



lu Vcosu/ 



smucosi'i — cosusmn 



dn 

 'du 



cos-u 



also (wegen des eben Gesagten) in der 



Gegend von u = 



, cosvi 



positiv, also nut 



cosu 



u wachsend. 



Schreiben wir nim: 



dA sini'i cosu /sin u cosm d»'i 



du sin^u vsini'i cosu du 



') 



so ist der erste Factor stets positiv, der 

 zweite wäre für u = tt„j Null; wemi aber 

 u wächst, so würden nach dem ia 1) und 3) 



sinu dv\ 

 smi'i' rfit' 



Ausgeführten die drei Factoren 



ebenfalls wachsen, also -r- positiv wer- 



cosu, du 



den. Dies Resultat involvirt aber einen 

 Widerspruch, also ist die Annahme un- 

 richtig, d. h. A oder aja wächst von an 

 und dauernd mit u. 



In diesem Falle {y = v{) ist femer 

 nach 54) und 68): 



P 



R(n) = 2)'i — 



sm" >'i 



also nach 59): 



Q(^0 



2.1 



77) 



wähi-end die Ausdrücke 63) und 64) für 

 yja imd y/c in ihrer Form keine Aenderung 

 erfahren. 



Für zt = ist .4 ^ also aja = oo. Ist 

 u sehr klein, so ist nach 75): 



