6 J. T. Söderberg, 



<3ie Elemente des r -f l:sten Systems vertauschen, H^ nennen, erhalten 

 wir fx Gruppen 



(3) //(, , /7i , . . . . ZZ"^_i , 



welche durch Transformation von H^ durch (2) gebildet werden können. 



Dann stellen wir folgenden Satz auf: 



Damit eine imprimitive Gruppe G aiißösbar sei, ist es notwendig und 

 hinreichend, dass D und. H^ auflösbar sind. Die Faktoren der Zusammen- 

 setzung von G bestehen aus denjenigen von D nebst den Faktoren der Zu- 

 sammensetzung von Ho^ ein jeder fj. Mal wiederholt.^ oder nebst Divisoren 

 dieser Zahlen. 



Da D 7M G auf die Weise isomorph ist, dass der Substitution 1 

 in D die Gruppe (r, in G entspricht, bestehen nämlich nach n:o 3 die 

 Faktoren der Zusammensetzung von G aus denjenigen von D und G, , 

 welche letztere nach n:o 4 aus denjenigen der Gruppen (3), d. h. denje- 

 nigen der //„ ,a Mal wiederholt ausgemacht werden, oder aus Divisoren 

 dieser Zahlen. Hiermit ist auch gezeigt, dass die Bedingung der Auflös- 

 barkeit von G hinreichend ist, was in keinem mir bekannten Werke aus- 

 gesprochen ist. 



Aus der Auflösbarkeit von G geht diejenige von D und G^ hervor, 

 weil D isomorph und G^ eine Untergruppe zu G ist, und mit G, muss 

 Ho auflösbar sein. Also ist die Bedingung der Auflösbarkeit von G auch 

 notwendig. 



6. Wir bezeichnen mit 



(4) 1, »,, .... Vi 



Substitutionen, welche die Systeme der Imprimitivität wie (2) vertauschen 

 und die Elemente eines jeden Systems durch die entsprechenden Ele- 

 mente eines Systems ersetzen. Diese bilden eine zu D einstufig iso- 

 morphe Gruppe //, und es sind 



(5) Ol = ^1 s,, 02 = -^2 -"ä, • • • • (^«-i = '9-,_, ^^p-, , 



wo Si, . . . ■<!,_, die Systeme nicht vertauschen. Wir stellen uns nun die 

 Aufgabe, den Satz zu beweisen, dass, wenn G eine imprimitive allgemeine 

 auflösbare Gruppe vom Grade n ist, durch Transformation der letzten 

 Indices der Elemente ermittelt werden kann, dass beim Einordnen von G 

 ins Schema (I) die Substitutionen (2) durch die (4) ersetzt werden kön- 

 nen, und dass G =-- {/t ., Ho} wird. 



Wenn Jordan, welcher diesen Satz erst im Zusammenhang mit spä- 

 teren Entwickelungen im »Traité» vollständig darlegt, denselben für^ = Mi- 



