Über Imprimitive und Dekomposable auflösbare Gruppen. 7 



iiimum herleiten soll, hebt er oft hervor, dass neben D und //jj auch G 

 auflösbar sein muss, und er beweist am Ende der Untersuchung nur für 

 einen speziellen Fall, dass G auflösbar wird, wenn es D und H" sind. 

 Dem Leser wird dabei leicht die falsche Auffassung beigebracht, dass 

 unter den imprimitiven Gruppen mit auflösbaren D und H^, solche vorkom- 

 men, welche nicht auflösbar sind, und welche nicht durch Indextrans- 

 formationen auf die Weise ins Schema (I) eingereiht werden können, dass 

 die Substitutionen (2) durch (4) ersetzt werden, obschon sie als nicht 

 auflösbar in keine allgemeinere auflösbare Gruppen ivAen Grades eingehen. 

 Durch den Satz in n:o 5 haben wir diesem Irrtum vorgebeugt. 



7. Zufolge der in n:o (> gemachten Annahme, dass G in keine 

 allgemeinere auflösbare Gruppe vom Grade n eingeht, welche Annahme 

 wir im folgenden festhalten, gilt bekanntlich, dass G^ gleich 



(6) (^o, H„ . . . . H,_,] 



wird. Wir können dies folgendermassen zeigen. Weil G auflösbar ist, sind 

 es nach n:o 5 auch D, //qi • • • tJfi-i- Es mögen nun (6) durch <f» und 

 { (Ti, . . . a,_i, «^ } durch 'F bezeichnet werden. Offenbar ist ¥*" imprimitiv 

 und diejenige Gruppe, welche e^, .... f„_, wie 'Z'' die Imprimitivitätssy- 

 steme vertauscht, identisch mit der obenerwähnten D und also auflösbar. 

 Weil die Substitutionenkomplexe 0, a^fp^ a^*t>^ . . . , Og_^4>, wie leicht 

 gezeigt werden kann, eine Gruppe bilden, ist <i> die allgemeinste Unter- 

 gruppe von 'F, welche die Systeme nicht vertauscht. Die Gruppe, welche 

 von denjenigen Bestandteilen der Substitutionen von fp, welche die Ele- 

 mente im ersten Imprimitivitätssysteme vertauschen, gebildet wird, ist 

 daher die obenerwähnte //,, und also auflösbar. Somit wird nach n:o 5 

 auch W auflösbar. Da nun G in W eingeht und eine allgemeine auflös- 

 bare Gruppe n:ten Grades ist, müssen W und G zusammenfallen, also 

 auch Gl und fp oder (6). 



8. Wenn die Einteilung der Elemente von G in Systeme der 

 Imprimitivität verschiedentlich geschehen kann, nehmen wir an, die Ein- 

 teilung sei so gewählt, dass durch Vereinigung der Elemente mehrerer 

 Systeme kein neues System der Imprimitivität erhalten werden kann. 

 Die so erhaltenen Systeme, deren Anzahl wie oben ,a sei, bezeichnen 

 wir durch 



(7) (So, Ol, . . . . 0|U_i . 



D muss nun primitiv sein. Wenn nämlich die /u Elemente von D in k 

 Systeme der Imprimitivität 



(8) To, T., . . . . r,_, 



