Übkr Imprimitive und Dkkomposable auflösbare Gruppen. 9 



Weiter enthält D die Substitution ,a,',y; .r,y-|-l|. Es bezeichne 



B = \x,y,v; «,?/+ 1, (p^{x,y,v)\ 



eine der entsprechenden Substitutionen von G. Wir haben die Wahl 

 des dritten Index der Elemente der Systeme 0,?/ für ^ = 0,1, . . .j)—\ 

 willkürlich gelassen. Indem wir diese Wahl für das System 0, fort- 

 dauernd willkürlich lassen, transformieren wir mit Jordan für die übri- 

 gen Systeme, deren erster Index Null ist, den dritten Index der Ele- 

 mente in solcher Weise, dass die Funktion </), (r,y,f) gleich ii wird für 

 A' = 0, y = 0, 1 , . . . p — 2 . Für .r = 0, y = p — 1 sei sie durch ij\ (v) 

 bezeichnet. 



In G kommt die Substitution 



3l-'^2t = U-,y,i-; x,y + l^(p,(a:- l,y,v)\ 



vor. Wenn wir 



2t-' 531 = B/ 

 setzen, erhalten wir 



welche in Gi eingehen muss. 



Jordan hat im »Traité» den fertigen Ausdruck der Substitution, wel- 

 che bei ihm unserer /" entspricht, nicht berechnet. Durch die Berechnung 

 von / wird aber die Herleitung der Existenz von [ a-, ?/, v; .ï, y -|- 1 , ü | 

 in G erleichtert. 



Um diese Herleitung zu Ende zu bringen, bemerken wir, dass G^ 

 diejenige Substitution f\ enthalten muss, welche von denjenigen Bestand- 

 teilen von /" ausgemacht wird, welche die Elemente der Systeme, deren 

 erster Index 1 ist, vertauschen. Also enthält G 



B, = Bf, =.\x,y,v; x^y -\- \, (f>., (,f, y, v) \ , 



wo <f'.^{x^y,v) gleich «/-i (0 , 3/ , î;) für x <\ und gleich ({\{x^y^v) für 

 X > 1 ist. 



In analoger Weise erhalten wir, dass G 



B-, = B^f, = : .r,y, v; x,y -\-l,(f>, {x,y, v) j 



enthält, wo (f>^ (x,y^v} gleich (/; (0,t/,i') für x <2 und gleich y, (,r,y,ü,) 

 für X > 2 ist. 



Durch fortgesetzte Anwendung desselben Verfahrens erhalten wir 

 schliesslich, dass 



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