12 J. T. Söderberg, 



(H) 



Für die Substitutionen (4) finden wir 



9-i = \x,y,v\l\ (,r, ij), /V (.r, ^), w 1 , 

 und wenn wir ff, = .^^ ?/, setzen, kommt 



welche Ausdrüclve 1*^; 7]^ = i^ &j ergeben. 



Zufolge n:o 10 bilden die Substitutionen, welche aus (II) erhalten 

 werden, wenn die (4) für l,Ot, . . Op_^ gesetzt werden, eine Gruppe, 

 nämlich { z/, //^ } , welche wir mit @ bezeichnen. Wir werden zeigen, 

 dass @ und G identisch sind. 



Wenn H^ transitiv ist, ist Ü5 imprimitiv, sonst intransitiv. In beiden 

 Fällen ergiebt sich mittelst n:o 3 und 5, dass @ lösbar ist, weil die oben 

 erwähnte Z) zu @ in der Weise isomorph ist, dass 6-', in @ der Substi- 

 tution 1 in D entspricht. Ferner ist @ mit den Substitutionen von G 

 vertauschbar. Wir haben nämlich, weil G^ eine ausgezeichnete Unter- 

 gruppe von G ist, o-^ GiOi = Gl oder ij^ i>~^ Gi 0-^1]^ = G^ oder endlich 

 ,j-'Gir], = G„ da zufolge n:o 10 f^-'G,&i = G, ist. Aus &jri, = q,8-^ 

 ergiebt sich dann ;/"*©>/; = ©. Da weiter ^r' @ ^, = @ ist, erhalten 

 wir schliesslich, dass @ mit ö,- und also mit allen Substitutionen von G 

 vertauschbar ist. 



Dann muss aber nach n:o 4 die Gruppe { (7, @ } auflösbar sein. 

 Da diese G enthält und vom Grade n ist, G aber zu keiner auflösbaren 

 Gruppe n:ten Grades Untergruppe ist, muss {G,@] = G sein und also 

 @ m G eingehen. Nun sind aber diese Gruppen derselben Ordnung. 

 Also werden sie identisch, und wir erhalten G = { J^ H„ \ , wo J die Ele- 

 mente eines der Systeme (7) durch die entsprechenden Elemente eines 

 dieser Systeme ersetzt und dabei die Systeme primitiv vertauscht, H,^ die 

 Elemente von Su und nur diese umsetzt. 



Nun wird auch ersichtlich, dass H^ transitiv ist, weil sonst G in- 

 transitiv würde, und dass D und Hg allgemeine auflösbare Gruppen von 

 den respektiven Graden jli und m sein müssen. 



