Über Imprimitive und Dekomposable auflösbare Gruppen. 13 



lo. Es seien hieruacli 



(9) \i '^i, • ■ • • ^fi-i 



eine beliebige Einteilung der Elemente in Systeme der Imprimitivitiit, 

 deren Anzahl f.i beliebig sei,- und es mögen //„,//,, . . . Hu-i sich auf 



(9) bezichen. Wir denken uns, es sei möglich, die (9) auf ,//,, Gruppea 



(10) @0,^l, • • • • (£/,„_! 



ZU verteilen, welche eine neue Einteilung der Elemente in Systeme- 

 der Imprimitivität bilden, und nehmen an, diese Verteilung sei so ge- 

 schehen, dass keine neue Systeme der Imprimitivität aus Gruppen der 



(10) ausgemacht werden, /li^, wird dann ein Divisor von /f, und es sei 

 fx=^l.iaiio- Dann wird gemäss n:o 12 nach passender Indextransforma- 

 tion G = { ^01 ^u"'}i \vo .7^, die (10) primitiv vertauscht und dabei die 

 Elemente jedes der Systeme durch die entsprechenden eines der Sy- 

 steme ersetzt, und i/[,"' eine allgemeine lösbare Gruppe von Grade ,«„ m 

 ist, welche die Elemente von ©„ transitiv vertauscht und //,, enthält. Die 

 in @o enthaltenen Systeme (9), welche 



(11) Oo, Ol, ■ - • • »J«,-! 



sein mögen, werden von i/o"* transitiv vertauscht, weshalb diese impri- 

 mitiv ist. Ihre Indices sind während der Indextransformation willkürlich 

 geblieben. Indem wir die Systeme (11) in angegebener Weise in Ober- 

 systeme gruppieren, welche Systeme der Imprimitivität von //^"* werden, 

 und deren Anzahl u^ der Gleichung /li^^Uj^u^ genügen mag, ergiebt sich 

 nach Indextransformationen H'^^ = [ J, , üo'j , wo J^ die Systeme der Im- 

 primitivität primitiv vertauscht und dabei die Elemente jedes der Systeme 

 mit den entsprechenden Elementen eines derselben ersetzt, und //^'> 

 eine allgemeine auflösbare Gruppe vom Grade ^tj m ist, welche die Ele- 

 mente des ersten Imprimitivitätssystems transitiv umsetzt und H^y ent- 

 hält. Wenn wir die Indices der Elemente der übrigen Systeme (10) 

 analog mit denjenigen von iSo transformieren, erhalten wir ferner 

 G= { ^0 , '^n -^o" } • Dann verfahren wir mit Äf,'* wie mit Hf u. s. f. , bis 

 wir zu i/o gelangen, was nach k Schritten geschehen mag. Wir erhalten 

 somit nach mehreren Indextransformationen 



wo J^^J^, . . . Ji._i ihre respektiven Systeme der Imprimitivität, deren 

 Anzahl ,u„,,Ui . . . iUi_i der Gleichung f-ig ju^ ■ ■ ■ «i-i = « genügen, pri- 

 mitiv vertauschen und Ho die Elemente von S„ umsetzt. 



