14 J. T. Süderberg, 



Hierbei müssen offenbar diejenigen Gruppen D,,, D, , . . . D^_^ , 

 welche ihre Elemente wie J^, ,i, , . . . -/j_] ihre Imprimitivitätssysteme 

 vertauschen, allgemeine auflösbare Gruppen der Graden .«o ,,"i, . . . Ux_i sein. 



Wenn nun J = {J^,Ji,.... J^^i] gesetzt wird, ergiebt sich endlich 



G = {J,Ho}, 



wo J die Elemente eines beliebigen der Systeme (9) durch die nach 

 den ludextransformationen entsprechenden Elemente eines dieser Sj'steme 

 ersetzt, weil dies von z/q, .i, , . . . J^._j gilt. 



Nun wird ersichtlich, dass //„ transitiv ist und dass Ho und die- 

 jenige Gruppe D, welche ihre Elemente wie J die Systeme (9) ver- 

 tauscht, aüqemeine auflösbare Gruppen von den respektiven Graden m und 

 /LI sein müssen. 



Hiermit ist die in n:o 6 gestellte Aufgabe gelöst. 



14. Wenn die Systeme der Iraprimitivität (9) so gewählt sind, 

 dass keine Untersysteme derselben Systeme der Imprimitivität sind, lässt 

 es sich zeigen, dass Ho primitiv ist. Dann folgt der bekannte Satz, 

 dass eine imprimitive allgemeine auflösbare Gruppe n:ten Grades mittelst 

 primitiver allgemeiner auflösbarer Gruppen niedrigerer Grade gebildet 

 werden kann. 



15. Mittelst n:o 13 kann sehr leicht bewiesen werden, dass jedes 

 System der Imprimitivität von G, welches gleich viele oder mehrere Ele- 

 mente wie eines der Systeme (9) enthält, welche eine beliebige Eintei- 

 lung der Elemente von G in Imprimitivitätssysteme ausmachen, aus einem 

 dieser Systeme oder aus mehreren derselben zusammengenommen be- 

 steht. Es ergiebt sich somit, dass die in n:o 8 definierte Zahl f.i und die 

 Systeme der Imprimitivität (7) mit jn^ und den Systemen (10) identisch 

 sind, und dass bei jeder andern Einteilung der Elemente in Systeme der 

 Imprimitivität die Anzahl der Systeme grösser als /Uq ist. 



III. 



Auflösbare primäre Gruppen eines gegebenen Grades i>", welche 

 allgemein und dekomposabel sind. 



16. Es sei /' eine dekomposable Gruppe vom Grade //'. Die 

 X Systeme von m so beschaffenen linearen Funktionen der Indices, dass 

 alle '/. m Funktionen distinkt sind, und dass die m Funktionen eines be- 

 liebigen Systems durch jede Substitution von F mit linearen Funktionen 



