Ül3KK ImPRIMITIVK UND DkKOMPOSABLE AUFLÖSBARE GrUPPEN. 17 



eine jede in keiner dor Zeilen vorkommt, welclie derjenigen Zeile vor- 

 aufgehen, in welclier die Substitution ausgeschrieben ist. Dann gilt, dass 

 die Substitutionen (8) sämtlich die Systeme auf verschiedene Weise ver- 

 tauschen. Wir setzen 



wo 1\, l'-^i ■ ■ ■ ■ l\^x die Systeme nicht vertauschen, und bezeichnen mit 

 (10) 1,0,,*,,....^,^, 



Substitutionen, welche die / Elemente l'q, (-\^ . . . e}_i in derselben Weise 



wie 1 , xY, , iVg Nq-i oder (8} die Systeme vertauschen. Diese bilden 



eine Gruppe D , welche zufolge der Formeln (2) und (6) zu F derart 

 isomorph ist, dass <?'"* den Substitutionen a,- /', der ?' -f listen Zeile vom 

 Schema I entspricht. 



Jordan lässt im »Traité» 0, den genannten Substitutionen von F 

 entsprechen, siehe z. B. Seite 224, Zeile 3. Dies ist aber zufolge der 

 Formeln (2) und (6) nicht richtig. 



18. Es möge nun 7^ primär, also D transitiv sein. Diejenigen 

 Substitutionen P^\ welche die Indices mit dem Indikator a wie F^ ver- 

 ändern, die übrigen aber unverändert lassen, bilden eine Gruppe, die wir 

 H„ nennen. Dann können die /. Gruppen 



:il) Ho,H,,....H, 



/.— 1 ' 



welche wir für « = , 1 , . . . . A — 1 erhalten, von einer derselben durch 

 Transformation , mit (8) gebildet werden. 



Durch Kombination der (11) erhält man die Gruppe 



(12) {//„,//.,,...//,_,}, 



welche /", enthält. Die Faktoren der Zusammensetzung dieser Gruppe 

 bestehen aus denjenigen von H,,, ein jeder k Mal wiederholt. ff„ ist 

 nämlich zu dieser Gruppe derart isomorph, dass die Untergruppe 

 { Hl, . . . . Hu-i] von (12) der Substitution 1 von H^ entspricht. Die 

 Faktoren der Zusammensetzung von (12) bestehen somit aus denjenigen 

 von i7„ und {//,,.... i/^_, ) . Durch fortgesetzte Anwendung dieser 

 Folgerungsweise erhalten wir schliesslich, dass die Faktoren der Zusam- 

 mensetzung von (12) aus denjenigen der Gruppen (11) bestehen, oder, 

 was dasselbe ist, aus denjenigen von Hq., ein jeder l Mal wiederholt. 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. '"/m 1899. 3 



