18 J. T. Söderberg, 



Wir stellen nun folgenden Satz auf: 



Damit die primäre und dekomposable Gruppe I^ des Grades p^''" auf- 

 lösbar sei, ist es notwendig und hinreichend^ dass die oben definierten Grup- 

 pen D und Hq auflösbar sind. Die Faktoren der Zusammensetzung von F 

 bestehen aus denjenigeri von D nebst den Faktoren der Zusammensetzung von 

 Hg, ein jeder l Mal wiederholt, oder nebst Divisoren dieser Zahlen. 



Der Beweis dieses Satzes stimmt mit denjenigen des entspre- 

 chenden Satzes in n:o 5 genau überein, wir übergehen ihn daher. 



19. Die Substitutionen 



(13) h.\\,N,,....N,_,, 



welche durch (9) definiert sind, bilden eine Gruppe J, welche zu D der- 

 art einstufig isomorph ist, dass Ni in J der Substitution 0"' ifi D ent- 

 spricht, und zu /' derart mehrstufig isomorph, dass A'; den Substitutionen 

 der i-f-l:sten Zeile von F entspricht. Wir stellen uns die Aufgabe, 

 den Satz herzuleiten, dass wenn /' eine primäre auflösbare Gruppe vom 

 Grade ]/'" ist, welche allgemein und dekomposabel ist, durch Indextrans- 

 formationen erzielt werden kann, dass die Substitutionen von F auch 

 dann ins Schema I eingereiht werden können, wenn in ihm die Substi- 

 tutionen (8) mit den (13) ersetzt werden, und dass 7^= {J.,Ho} wird. 



20. Wir nehmen hiernach an, dass die primäre und dekompo- 

 sable Gruppe r vom Grade p" auch auflösbar ist und in keine allgemei- 

 nere lineare auflösbare Gruppe vom Grade p" eingeht. Dann gilt be- 

 kanntlich der Satz, dass F, gleich der Gruppe (12) ist. Dies kann fol- 

 gendermassen hergeleitet werden. Es möge die Gruppe (12) durch 4> 

 bezeichnet werden, und es sei ^' = {o^, a-i, . . . ff,^,,çf»}. Dann ist W 

 offenbar eine 1' umfassende primäre dekomposable Gruppe vom Grade 

 2J", von welcher auf dieselbe Weise gezeigt werden kann, dass sie mit 

 r identisch ist, wie in n:o 7, dass die dort durch W bezeichnete Gruppe 

 mit G identisch ist. Also sind /"j und <t> identisch. 



Sil. Wir nehmen nun an, die Indices seien in n:o 16 auf die 

 Weise in Systeme eingeteilt, dass diese nicht derart in Obersysteme 

 gruppiert werden können, dass F die Indices eines beliebigen Obersy- 

 stems durch lineare Funktionen der Indices eines Obersystems ersetzt. 

 Dann bezeichnen wir die Systeme mit 



(14) 5o, S, , . . . . 5;._, . 



Dann muss J die Systeme primitiv vertauschen, also D primitiv werden. 

 Wenn nämlich D imprimitiv wäre, also.:/ die Systeme imprimitiv vertauschte, 



