Si une ou plusieurs des racines de cette éciuation ont leurs 

 parties réelles négatives, et qu'il existe une solution de (A), il en existe 

 une infinité. 



Le Ijut principal de ce tra\ail est de compléter la recherche 

 de M. VoLTERRA dans le dernier point de ce théorème '). 



Dans le n° I je ramènerai, par une modification légère de la 

 transformation par laquelle M. \'olïeera a démontré la première partie 

 de son théorème, la question de Tinversion de (A) à la même question 

 pour une autre équation de la forme (A), dont l'équation algébrique 

 correspondante a pour racines les racines de (B) qui ont leurs parties 

 réelles négatives. 



Dans le n° II je donnerai d'abord une méthode pour traiter l'équa- 

 tion (A) dans le cas où les racines ont leurs parties réelles négatives. 

 En combinant les résultats obtenues avec la transformation du n° I 

 je trouve le résultat contenu dans le théorème III, où est donnée la 

 forme générale de la solution de (A). Enfin je ferai voir que le ré- 

 sultat de M. VoLTERRA dans le cas où il y a des racines qui ont leurs 

 parties réelles négatives, résultat qui consiste en la formation de cer- 

 tains solutions de l'équation 



ï/ 

 (C) fifix)H{x,y)dx = , 



n 



est une conséquence immédiate du théorème II. 



Dans le n° III, je traiterai la question de l'inversion dans le cas 

 le plus simple où l'équation algébrique (B) a une racine infinie (Ce cas 

 est mentionné par M. \'olterea dans le nota III des Attij. 



') Un extrait de ce travail se trouve dans les Atti délia R. Aec. di Torino, t. 35 

 (l'JOO) sous le titre: 



Sur un théorème de M. Volterra sur l'inversion des intégrales définies (extrait d'une 

 lettre adressée à M. Volterra par Erik Holmgren). 



