I. 



Supposons qu'il existe une fonction continue (p{x) satisfaisant à {A). 

 Différentions cette équation par rapport à //, nous aurons 



(A') /(//) = <f(!l)J'(!l)+ßri.f\HJj-.>/)dx , 





 il 



( = 



(2) H,{x,y) = MiMi = V,,, _ /| «,,,•■//"—' + H',{x,y} 



oy ,=0 



dy 



Supposons que k, soit une des racines A, , ^2 , ^3 , . . . , >.,. de (B) qui ont 

 leurs parties réelles positives. Multiplions les deux membres de (A') 

 par y'-~"~^ et intégrons entre les limites et z. (Les intégrales sont 

 évidemment bien définies et finies pour z = 0) 



2 2 y 



(3) ff'{y)y^'-"-' dy = Jj if{y\h (//)./À "- + yK—'f(p{x)H,{x,y)dx\ dy . 



Changeons Tordre de Tintégration dans Tintégrale double en appliquant 

 la formule de Dieichlet^) 



z z z 



//' (//) y^^""-' dy = /j // (// ) //^..— ' +/ J/, ( // , X) x''—' dx I y. (,//) dy . 



*) Voir: Volterra, Annali di matematica, 1. c. p. 142. 

 Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Her. III. Iinpr. =8 u igoo. 



