Über Imprimitive und Dekomposable auflösbare Gruppen. 5 



der Substitution 1 in F die Gruppe L, entspricht. Aus der Auflösbarkeit 

 von r und Lj folgt dann diejenige von { L, X, j . 



Der Satz ist von Jordan im »Traité», Seite 392, anders bewiesen^ 



II. 



Auflösbare Gruppen eines gegebenen Grades, welche allgemein und 



imprimitiv sind. 



5, Es sei G eine imprimitive Gruppe vom Grade n, und es seien 

 die n Elemente von G auf /u Systeme der Imprimitivität von m Elemen- 

 ten verteilt, also n = u m. Die Elemente seien durch das Symbol /„„,. 

 bezeichnet, v^elches ein und dasselbe Element bedeuten soll, wenn u mod.. 

 /u und V mod. m reduziert werden, und es mögen die Systeme der Im- 

 primitivität durch /„0 , /„,,, . . . ^„,„,_, dargestellt werden, wenn u die 

 Werte 0,1,... /u — 1 durchläuft. Es sei ferner G^ die allgemeinste Un- 

 tergruppe von G, welche die Systeme der Imprimitivität nicht vertauscht,, 

 und es seien 



(1) 1>«.: 



"»',-1 



die Substitutionen von G^. Dann können die Substitutionen von G ins- 

 Schema 



Substitutionen von G sind, von welchen jede in keine der Reihen von (I) 

 eingeht, welche derjenigen Reihe voraufgehen, in welcher die Substitu- 

 tion ausgeschrieben ist. Dann giebt es keine zwei Substitutionen (2), 

 welche die Systeme auf dieselbe Weise vertauschen. Die q Substitutio- 

 nen, welche ,tt Elemente ^„, e, , . . e^_, in derselben Weise vertauschen, 

 wie (2) die Systeme der Imprimitivität, bilden eine transitive zu G iso- 

 morphe Gruppe, die wir D nennen. In dem wir diejenige Gruppe, welche 

 aus denjenigen Bestandteilen der Substitutionen von G^ besteht, welche 



