4 J. T. Söderberg, 



G muss nämlich in die niedrigste Gruppe eingehen, welche H^ ^ 

 ^i, . . . H.fj,_^ enthält, welche wir mit 



(2) {^0, ^., H, 



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bezeichnen. Zu dieser ist H^ isomorph in der Weise, dass der Substi- 

 tution 1 in H^ die Gruppe 



(3) [H, H,_,} 



zugeordnet ist. Die Faktoren der Zusammensetzung von (2) bestehen 

 somit aus denjenigen von //„ und (3). Durch fortgesetzte Anwendung 

 dieses Verfahrens erhalten wir, dass die Faktoren der Zusammensetzung 

 von (2) aus denjenigen von //„, H^, . . ^^_i bestehen. Da ferner die 

 Faktoren der Zusammensetzung einer Untergruppe Divisoren von denje- 

 nigen der Gruppe sind, (siehe Jordan's »Traité», Seite 279), so müssen 

 die Faktoren der Zusammensetzung von G aus denjenigen von (1) oder 

 aus Divisoren derselben bestehen, und G auflösbar sein, wenn (1) es sind. 



Dann leiten wir folgenden Satz her: 



Wenn L und Z, auflösbare Gruppen sind, und L^ mit den Substi- 

 tutionen von L vertauschbar ist, so ist { L, L^} eine auflösbare Gruppe, 



Es sei J die Gruppe der Substitutionen, welche den L und L^ 

 gemeinsam sind. Da diese eine ausgezeichnete Untergruppe von L wird,, 

 können wir eine transitive Isomorphe /' zu L bilden, so beschaffen, dass 

 die der Substitution 1 in F zugeordneten Substitutionen von L die Gruppe 

 J ausmachen (siehe z. B. Netto's Substitutionentheorie, Seite 92). Nun 

 wird /"auch zu [ Z, Z, } isomorph, wenn wir der Substitution 1 in /'die 

 Gruppe L, zuordnen. Wennschon nämlich jede Substitution von {/>, L^} 

 auf mehrere Weise als Produkt von Substitutionen in L und L^ ausge- 

 drückt werden kann, so ergiebt sich zuerst, dass jeder Substitution von 

 { /y, i, } nur eine Substitution /' zugeordnet wird. Denn wenn l und /, 

 beliebige Substitutionen der respektiven L und /, sind, haben wir 

 /j l = ///, wo l/ zu L^ gehört. In jedem Produkt von Substitutionen 

 aus L und L^ können daher die Faktoren auf die Weise vertauscht wer- 

 den, dass die Substitutionen von L zusammen kommen, wobei diese nicht 

 verändert werden. Also ist klar, dass dieselbe Substitution von /' dem 

 Produkt entspricht, wie auch dieses in Faktoren aufgelöst wird. Weiter 

 ergiebt sich auf dieselbe Weise, dass das Produkt zweier Substitutionen 

 von {/y, Zj } dem Produkt der entsprechenden Substitutionen von /'zu- 

 geordnet ist. Also wird F zu {L, L^} in der Weise isomorph, dass 



