ÜBER Imprimitive und Dekomposable auflösbare Gruppen. 3 



nungen halten, eine Untergruppe von /' wird, d. h. nach Netto's Be- 

 zeichnungen, dass T eine Untergruppe von G wird. Man kann somit, 

 indem man meine Bezeichnungen anwendet, gegen ihn den Einwurf ma- 

 chen, dass O und /' vielleicht zusammenfallen können, wodurch yî eine 

 ausgezeichnete Maximaluntergruppe von /' sein könnte, während es eine 

 Gruppe T gäbe. 



Die Umkehrung des hergeleiteten Satzes lautet folgendermassen : 



Wenn L eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von G ist und 

 die Grujrpe J enthält, so ist die der L entsprechende Gruppe ./ in der 

 zu G isomorphen /' eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von F. 



Wenn nämlich ./ keine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von F 

 wäre, so müsste sie jedoch nach n:o 2 eine ausgezeichnete Untergruppe 

 von r sein. Somit müsste /' eine ausgezeichnete Untergruppe ent- 

 halten, in welche yl als Untergruppe eingehen würde. Die dieser ent- 

 sprechende Untergruppe T von G würde dann eine ausgezeichnete Un- 

 tergruppe von G und enthielte L als Untergruppe, was der Annahme 

 widerstreitet, dass L eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von G sei. 

 Also kann 7" keine solche Gruppe wie O enthalten, und yt muss eine 

 ausgezeichnete Maximaluntergruppe von T sein. 



Wir erhalten hieraus folgenden Satz: 



Eine Reihe der Zusammensetzung von G wird durch die Gruppen 

 gebildet, welche der Reihe der Zusammensetzung von der zu G isomor- 

 phen Gruppe /' entsprechen, gefolgt von der Reihe der Zusammensetz- 

 ung von /. Die Faktoren der Zusammensetzung von G werden durch 

 diejenigen von F und J ausgemacht. 



Der Beweis ist leicht ersichtlich, wir übergehen ihn daher. 



4. Wir fügen hier zwei Sätze hinzu, welche wohl eigentlich nicht 

 zur Theorie des Isomorphismus gehören, welche aber durch n:o 3 leicht 

 bewiesen werden können. Zuerst erhalten wir folgenden Satz: Wenn 

 G eine intransitive Gruppe mit fj, Systemen von transitiv zusammenhän- 

 genden Elementen ist, und 



(1) ^0, //,,... . H^_^ 



Gruppen sind, von welchen eine jede aus denjenigen Bestandteilen der 

 Substitutionen von G ausgemacht wird, welche die Elemente von einem 

 der respektiven fx Sj^steme vertauschen, so ist es für die Auflösbarkeit 

 von G notwendig und hinreichend, dass (1) auflösbar sind. Die Faktoren 

 der Zusammensetzung von G bestehen aus denjenigen der Gruppen (1) 

 oder aus Divisoren derselben. 



