2 J. T. Söderberg, 



tioneü von G entsprechen (siehe z. B. Netto's Substitutionentheorie^ 

 Seite 98). Diese werden von einer derselben durch Multiplikation mit 

 den Substitutionen von J gebildet. Also enthält L sämtliche diejenigen 

 Substitutionen von ö, welche A entsprechen. Bezeichnen Wiv die Ord- 

 nungen von /' und yl mit r und ;f, so werden diejenigen von G und L 

 gleich m »^ und ni x. Da L eine Untergruppe von G ist, wird m /. kleiner 

 als m ;', somit y. <v und also yl eine Untergruppe von /'. 



Ferner gilt folgender Satz: Wenn L eine ausgezeichnete Unter- 

 gruppe von G ist, so ist -/ eine ausgezeichnete Untergruppe von T, 

 wenn yl überhaupt eine Untergruppe von T ist. In Netto's Substitutio- 

 nentheorie a. a. 0. ist dieser Satz als Umkehrung eines andern Satzes 

 erwähnt, die für die Gültigkeit derselben aber notwendige Bedingung, 

 dass yl eine Untergruppe von /' sein muss, nicht angegeben. 



Die Umkehrung dieses Satzes lautet ganz einfach auf folgende 

 Weise: Wenn 1 eine ausgezeichnete Untergruppe der zu G isomorphen 

 Gruppe 7" ist, so ist die der -/ entsprechende Untergruppe L von G 

 eine ausgezeichnete Untergruppe von G. 



3. Wir können nun folgenden Satz herleiten : 

 Wenn A eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe der zu G iso- 

 morphen Gruppe Z' ist, so ist die der yl entsprechende Untergruppe L 

 von G eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von G. 



Wir nehmen an, es sei L keine ausgezeichnete Maximaluntergruppe 

 von G. Dann haben wir jedoch nach n:o 2, dass L eine ausgezeichnete 

 Untergruppe von G ist. Also muss in G eine ausgezeichnete Untergruppe 

 T eingehen, in welcher L als Untergruppe vorkommt. Es möge nun 

 die T entsprechende in /' enthaltene Gruppe sein. Da L ihrer Defini- 

 tion gemäss J enthalten muss, wird dies auch mit T der Fall sein. Also 

 muss gemäss n:o 2 eine Untergruppe von F sein. Da T eine ausge- 

 zeichnete Untergruppe von G ist, so ergiebt sich somit nach n:o 2, dass 

 eine ausgezeichnete Untergruppe von F ist. Weiter ist zu T iso- 

 morph auf die Weise, dass die Substitutionen in T, welche der Substi- 

 tution 1 in entsprechen, J ausmachen, und es ist L eine in T vor- 

 kommende Untergruppe, welche J enthält. Also muss ^l nach n:o 2 

 eine Untergruppe von sein. Dies streitet gegen die Voraussetzung, 

 dass yl eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von F sei. Also kann 

 G keine solche Gruppe wie T enthalten, und es folgt, dass L eine aus- 

 gezeichnete Maximaluntergruppe von G sein muss. 



Wenn Netto in seiner Substitutionentheorie a. a. 0. diesen Satz 

 beweisen soll, zeigt er nicht, dass 0, indem wir uns zu meinen Bezeich- 



