1 a.z-^^^ 



18 Erik Holmgeen, 



z 



F{z) = //'(2/) ^ c/. (a„ , r/, , . . . , «„ 1 r\ ö,j 



a,(?/ , ^ , ^,) = /i'(v7 , //) -;^ 0^ ((f„ ;'-',,..., a„ 1 ^) + 



+ 



/■ 



9 if '(,//, xj 



9X aï 



:i-\ 



— o» (^a„ , «, , . . . , «„ I --j 



dx 



d'où l'on conclut que les fonctions mentionnées sont des fonctions réelles. 



Nous allons étudier Téquation fonctionelle (Dj. En différentiant 

 par rapport à 0, nous formons une équation fonctionelle, qui a les 

 mêmes solutions que (D). 



Elle peut s'écrire sous la forme 



(14) #) = 



h\£) 



m 



^"'f{y)d!l-. 



dz 



^Myy^y- 



Cette équation a une seule solution continue. Cela peut se dé- 

 montrer par une application de la méthode des approximations suc- 

 cessives'). 



A ce fin nous formons successivement les fonctions (f;{:). (f'j{z) , . . , 

 ^„(0) , . . . définies par le système 



(15) 



^ X F [z] „ 



;öö, 



dz 



h{z} Ü li{z) ?. n[z} 



h{z) a h{z} ll[Z) 



') Voir LE Houx. Annales de l'école normale, 1895. 



