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Ebik Holmgren, 



ou 



G{x , y) = 1 a, + K^^ _ t K:y-K-^fH'U; s^j^V"- de ') . 

 1=0 y s=i ,. 



Supposons d'abord que toutes les racines de l'équation (13) ont 

 leurs parties réelles négatives. 



Considérons l'équation fonctionelle 



(18) 



--;.+! 



Z 2 



^ = / V (?/) G*. (2/ . ^ . -o) d II + f <f (//) Ci^ [y ,z,2,) dy . 



-1 + 

 Cette équation peut s'écrire 



1 •/ (,=0 .,=1 ^n^ 



-;. +1 



H'{y,y) 



y" 



+ 



-1 + 



+ 2 K,z-K+' f xK-''-' ^^^y '^) dx\ (p{y)dy - 



-f\tK (f )~''"^^ + I K^^^'f^r"- ^i^ dJ^,^y)dy , 



si nous supposons que (/(//) soit de la forme y~^0{y), où 0{y) est 

 continue et indépendante de ^o, quand ()<//<^o- Les fonctions sous les 

 signes d'intégration sont donc continues même quand ^o tend vers 

 zéro. Supposons donc que ^o = Ö , nous aurons 



(19) 



--/+1 



k + 





-A+l 



H'jy^y) 

 y" 



+ 



+ îi K,z-K^' f xK-"-'^^'^y ' ^^ dx\^ y-'-0{îj)dy 



Si nous prenons la dérivée par rapport à s des deux membres 

 de cette équation, nous aurons l'équation de M. Volteeea. Les équa- 

 tions (17) et (19) ont évidemment les mêmes solutions. L'équation (19) 

 a donc une et une seule solution 0{y), continue quand 0<y<,a. 



') Cette équation a une seule solution continue. Voir: Volterra, Rend, délie R. 

 Ace. dei Lincei 1896. 



