26 Erik Holmgren, 



III. 



Dans ce n° nous traitons l'équation fonctionelle (A) dans le cas 

 spécial, où l'équation algébrique correspondant (B) a une racine infinie, 

 mais en nous restreignant par la supposition que H{x , y) commence 

 par des termes du premier degré. Nous admettons que H{x , y) peut 

 s'écrire 



H{.c , y) = Oo 2/ + <-i, j: + uy' + pxy + y y'' + H'{x , y) , 

 où 



a, + r/, = , «+/? + ;- =|:z , 



R'{x , y) .= fL{x , ,j) , '^J^^^\ = fL, {X , //) , 



0?/ 



les fonctions L[x , y] et J^J.r , //) étant continues, quand x<y\j\jj) est 

 de la forme y^f\{y), où f\{!l}, qni a une dérivée continue par rapport 

 à y, ne s'annule pas pour y = 0| . 



Avant de commencer, démontrons le lemme sui^"ant: 



Les égalités 



(20) lim y-"e' / y'-^e ■" dy = - 



î/ = +o •;;; « 



(21) lim 7/-"^^ / ?/""'(' ■' <^y = - 



= +0 



sont vérifiées, la 'première, quand f.i>0 , la dernière, cjuaiid jlkO et y^ >0 

 ()' est une quantité réelle arbitraire). 



Pour démontrer la fornude (20), remarquons qu'on aura en inté- 

 grant par parties 



lim ij-"e' I y-^e " dy = 



/' Z i" 



A + (-i)-^'^+li^ ^: + ^' + ^' iimr->-/r^-^"^^^ 



