Recheeches sue l'inversion j)es intégrales définies. 27 

 J^a (k'i'iiirrr iiiirni'alc est égale à zéro. Car on a 



lim //-"e" / ir+'-r " di/ = lim -^^—- -^ — ^ , 



;/=+ü •; !/=+o a r + 1 



u 



où //, < // , et parce que la l'onction ij'^'e'' croit, quand y décroit, la der- 

 nière limite est égale à zéro. L'égalité (20) est donc vérifiée. 



La deuxième formule se démontre d'une manière analogue. 



Nous aA-ons 



lim y-'' r~ f //'-- (~ '^ dij = - — - *''+ ^^^'' ± --l lim y-'' e' f ?/"+' <r~di 



1 r(/'+_lj«r4-2j 



Mais 



lim y~'' c'' / //'■+' r ^ (/// =-- lim y — (// — //„) , 



OÙ //<//,<//„. <^n voit donc que cette limite est égale à zéro. La 

 formule (21) est donc démontrée. 



Re^'enons à notre question de ^in^•ersion. 



Supposons qu"il existe une solution continue qj{.r) de [A). En 

 différentiant nous aurons 



■)-^\ 



ou 



/•' ( //) = ,f ( // ) //(//)+ f 'f (■'■) H2 ( '^' ; y) d -C , 



// (//) = H {y , y) = {a + ß + ;-) y' + H' [y . //) , 



-ry 1 . oiï(x-,//| O , /3 , '^H'ix.y] 



H, {.r , //) = v_^^'_ _ ,, ^ 2«?/ + /?.r h \_lA1 . 



3// a?/ 

 Nous supposons d'abord que la quantité //. = '" est positive. 



Multiplions les deux membres de l'équation (22) par yr ■" , où 

 r est une quantité réelle, qui sera déterminée dans le sui\'ant. Inté- 

 grons entre les limites et z. Nous aurons 



(23) f y^'e'^ f'{y)dy ^. f^^il{y)Jiiy)y>~'^ 4- ye'' f <f {x)H,{x ,y)dx\ dy . 



ou 



Nova Ada Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 111. liniir. "'m 1900. 4 



