Mémoire sue la solution analytique du problème des n corps. 9 



II. SUBSTITUTIONS INTEGRANTES. 



0. Les équations différentielles du mouvement I (12) jouissent 

 de la propriété de posséder 4 intégrales exactes, à savoir celles des 

 aires I (24) et celle des forces vives I (27). Les équations différen- 

 tielles (13) et (15), que laissent indéterminées les substitutions (12), doi- 

 vent jouir de la même propriété de posséder 4 intégrales exactes, à 

 savoir celles des 3 équations différentielles (13) et celle de l'équation 

 différentielle formée par la somme des 3 équations (15). C'est par cette 

 propriété que les substitutions générales (9) obtiennent une forme unique 

 et bien déterminée en ce que leurs parties principales A,., , jB« , (7,., de- 

 viennent des fonctions connues des coordonnées et de leurs différen- 

 tielles, et l'inconnue F,., contenue dans leurs parties potentielles devient 

 une fonction analytique du rayon vecteur i?,,, ^), fonction qui se préci- 

 sera connue constante. Nous appellerons substitutions intégrantes cette 

 forme unique et bien déterminée des substitutions générales /"„ , g,,, , //„ . 



Formules préliminaires. 



7. Les différentielles dS,., et dd,, sont définies par la formule 



(16) dSl = dBl, + Rld 01 = dx^, + dyl + dzl . 

 En posant 



X,,, = R,, Cos 51,5 , 



(17) Vrs = R,s Cos 23„, , 



z„ = B,,, Cos 6„ , 



l'identité (16), pour i?„ constant, s'écrira 



(18) d 01 = d Cos W,, + d Cos W.. + d Cos (Ål . 



Si a,, , b,, , c„ sont les angles que fait l'axe de l'orbite, décrite 

 par R,, , avec les axes des coordonnées, nous avons les formules 

 connues, 



1) Ce cas est analogue à celui de déterminer des fonctions analytiques incon- 

 nues par leur propriété d'être uniformes et de posséder un théorème d'addition. 

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