Mémoire sur la solution analytique nu problème des n corps. 13 



Donc, si l'on multiplie l'équation en force vive (24) par II;, et en re- 

 tranche (27), on aura Véquation en aire 



(29) [ri ^)'= f{fi,.dA,., + ß,.,4B„ + YrÂC,.} + JC , 



^ ut ■ 



(jui, différentiée, donnera (23). 



Condition pour que «,.,flf J,-|-/?,.ri!iî.-f ;',,«? C,^. soit mie différentielle 



exacte. Conséquences. 



12. L'intégrale à droite de (29) exige, pour être exacte, que la 

 somme a„dA,,-\-ß,.,dB,., + Y,.sdG,., soit une différentielle exacte. 



A cet effet, désignons par -Q,., l'intégrale exacte de (29), qui 

 par suite sera une fonction des quantités A,^, 5,.s , 0,.^; alors on aura 



f?_Q„ = ^ clA,., + ^ dB,.^ + ^ ^^ G.. , 

 oA,g ôiî,,, 0,.,. 



où les différentielles dA,,., dB,.,., dC,., jouissent de la propriété d'être 

 homogènes de dimension 2 par rapport aux coordonnées [n° 4], et de 

 se permuter, en accord de (14), l'une dans l'autre en permutant les 

 axes des coordonnées, et où 



9^„, ~ '■■" 95„ -•"' a a. ""■'■ 



On satisfera à ces conditions en posant 



(30) dA,., = 2 c„ da,., . dB,, = 2 c,.,dß,, , d C,., = 2 c,.,dy,., 



. • . n,., = c,., {al + l3;, + y;,) , 



OÙ c,., est un paramètre constant. 



On parviendra aux mêmes résultats, si l'on fait dépendre, en 

 intégrant par parties, l'intégrale de (29) de cette intégrale 



f{A„da,., + B,.,dß,., + G,., dy,.,} , 



où l'on fera usage de (30). 



Je dis que ces expressions des parties principales A,.,, B,.,, G,., 

 sont les plus générales possibles. Car autrement, si l'on développe 

 Ar, , B,., , c,,, comme fonctions analytiques de a,., , ß,., , y,., suivant la 

 série de Taylor, les différentielles de ces développements doivent être 



