KecHERCUES sur T.ES SOLUTIOXS l'ÉEIOniQTIES DE LA -V' SORTE, 7 



4. Il csl clair i|ii(' clans loiilo solulioii in'riodiiiiic (jui coi-respdiul 

 à une \akMii' r„ dans le (htniaine 



< r„ < 1 (23) 



on a 



lim I = /., . 



»' — 1\^ 



où II csl une racine de rc([nation 



^-^!" = . (241 



0/. 



Coito éqnation est e\idemnient satisfaite |)ar les racines 



Â = r ■ . si 7 = nombre impair 



V' = , ± 1 , + 2 . . . (25) 



ci par 



X T= rn . si 7 = noml)i'c [)air. 



On i>ent maintenant démontrer (jue ces racines sont les seules ra- 

 r'nics ilr rrqndlinn cJ4). 



Pour démontrer cette proposition nous donnerons les coefficients 

 /)'••' des foi'mules (21) et (22) sous une forme qui manifeste clairement 

 Tordre de grandeur de chaque coefficient. D'après un théorème ge- 

 neral de Jacobi ^) on a 



b'-' = -,-- I i)"' cos ix oos jydxdi/ 



^" ^o -'" 



^ UlTi^'ïirm^) ^''■''^^''''y^Ç )""ir<'^'+^'>')sin^'x-sin^'//(/*-(?/y . (26) 

 Il est a^■antag•eux d'utiliser la formule de Stirling -) 



\m = \/27i e-'" ùf^^eÂ^ , (J < p < 1 (27) 



pour transformer le facteur numérique de la formule (2()). On obtient 



^) Gesammelte Werke, 1. VI p. 103 ou Grelles; Journal, t. XV p. 1 — 2G. 

 ^) Dans ce chapitre c désigne la base des logarithmes naturelles. 



